Question

1.Objetość walca o polu powierzchni , opisanego na kuli o promieniu , jest równa:

a)

b)

c)

d)

2.W stożek, którego tworząca ma długość cm, a jego kąt rozwarcia ma miarę wpisano walec. Wysokość walca ma trzykotnie większą długość niż jego promień podstawy.

a)pole powierzchni bocznej walca wynosi

b)promień walca ma długość

c)wysokość walca ma długość

d)

objętośc walca wynosi

Answer 1

z.1

P - pole powierzchni  walca opisanego na kuli o promieniu długości r

Promień walca jest równy promieniowi kuli

Wysokośc walca h = 2r

zatem

P = 2 Pp + Pb = 2 * pi r^2 + 2 pi r*2r = 2 pi r^2 + 4 pi r^2 = 6 pi r^2

Stąd

r^2 = P/ 6 pi

===========

Objętośc walca

V = Pp *h = pi r^2 * 2r = pi * [ P/ 6 pi]* 2r = (P r )/3

Odp. V =( P r) / 3

===================

z.2

l = 6 p(3)

r - promien walca

h = 3r - wysokośc walca

R - promień stożka

H - wysokość stożka

60 st - miara kąta rozwarcia stożka

Mamy

R / l = sin 30 st = 1/2

R/( 6 p(3) ) = 1/2

R = 3 p(3)

=========

H / l = sin 60 st

H = l* p(3)/2 = 6 p(3) *[ p(3)/2] = 9

================================

[ H - 3r ]/ r = H/R

[ 9 - 3r ]/ r = 9/( 3 p(3))

9 r = 3 p(3) *[ 9  - 3r]

9r = 27 p(3) -  9 p(3) * r

9r + 9 p(3) r = 27 p(3)  / : 9

r + p(3)r = 3 p(3)

r*( 1 + p(3)) = 3 p(3)

r = [ 3 p(3)]/[ 1 + p(3)]

=====================

h = 3 r = [ 9 p(3)]/[ 1 + p(3)]

=========================

a) Pole powierzchni bocznej walca

Pb = 2 pi r * h = 2 pi r*3r = 6 pi * r^2

r^2 = [ 9*3]/[ 1 + 2 p(3) + 3] = 27/[ 4 + 2 p(3)]

zatem

Pb = 6pi * 27/ [ 4 + 2 p(3)] = 81 pi / [ 2 + p(3)]

Pb = 81 pi / [ 2 + p(3)]  cm^2

=============================================

b) Promien walca ma długość

r = [ 3 p(3)]/[1 + p(3)]   cm

======================

c) Wysokość walca ma długośc

h = [ 9 p(3)]/ [ 1 + p(3)]   cm

===========================

d) Objętość walca

V = pi r^2 * h = pi r^2 * 3r = 3 pi *r^3

 r^3 = r*r^2  = [ 3 p(3)]/[ 1 + p(3)] cm * 27/ [4 + 2 p(3)] cm^2 =

= 81 p(3) /[ 4 + 2 p(3) + 4 p(3) + 6]   cm^3 = 81 p(3)/[10 + 6 p(3)]  cm^3

zatem

V = 243 pi p(3) / [ 10 + 6 p(3)]  cm^3

=========================================