Question

1.liczby a1,a2,...,an tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sumę Sn=a1+2a2+3a3+...+n*an, mając wyraz pierwszy a1 i iloraz ciągu q.
2.wykaż że liczby a=3-pierwiastek z 2 *2; b=10-7pierwiastków z 2; c=34-24pierwiastków z 2 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geomertycznego.

Answer 1

1.liczby a1,a2,...,an tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sumę Sn=a1+2a2+3a3+...+n*an, mając wyraz pierwszy a1 i iloraz ciągu q.
niech Zn=a1+a2+a3+a4+...an
Sn=a1+2a2+3a3+...+n*an
Sn=a1+2a1q+3a1q²+...+n*a1q^n-1
Sn=Zn+(Zn-a1)+[Zn-(a1+a2)]+[Zn-(a1+a2+a3)]+...[Zn-(a1+a2+a3+...+an-1)]
Sn=n*Zn-a1-(a1+a2)-(a1+a2+a3)-...-(a1+a2+a3+...+an-1)
Sn=n*Zn-Z1-Z2-Z3-...-Zn-1
Sn=n*Zn-(Z1+Z2+Z3+...+Zn-1)

2.wykaż że liczby a=3-√ 2 *2; b=10-7√2; c=34-24√ 2 są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geomertycznego.

a2/a1=a3/a2
a2²=a1*a3

(10-7√2)²=(3-√2 *2)(34-24√2)
100-140√2+49*2=102-72√2-68√2+48*2
198-140√2=198-140√2
są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geomertycznego.

Answer 2

Ciąg geometryczny:
1)
a1=a
a2=a×q
a3=a×q²
...
an=a×q^(n-1) gdzie ^x oznacza podniesione do potęgi x

suma do a2:
Suma=a+a×q=a×(1+q)
suma do a3:
Suma=a+a×q+a×q²=a×(1+q+q²)
...
Zauważmy, że gdyby pomnożyć (1+q+q²) prze (1-q), to otrzymalibyśmy wzór skróconego mnożenia:
(1-q)×(1+q+q²)=(1-q³)
więc dla a3 suma ciągu=(a×(1-q³))/(1-q) ,gdzie najwyższa potęga przy q równa jest ilości sumowanych wyrazów ciągu geometrycznego.

Z tego możemy zauważyć, że dla sumy n pierwszych wyrazów ciągu otrzymamy wzór (a×(1-q^n))/(1-q)

2.
a=3-2√2; a;
b=10-7√2; a×q;
c=34-24√2 a×q²;

skoro a=3-2√2, a b=10-7√2=a×q, wiec
10-7√2=(3-2√2)×q /(3-2√2)
(10-7√2)/(3-2√2)=q /×(3+2√2) (usuwamy niewymierność z mianownika)
((10-7√2)×(3+2√2))/((3-2√2)×(3+2√2))=q
(30+20√2-21√2-28)/(9-8)=q
2-√2=q

c=34-24√2=a×q²
sprawdźmy:
(3-2√2)×(2-√2)²=(3-2√2)×(4-4√2+2)=(3-2√2)×(6-4√2)=
18-12√2-12√2+16=34-24√2

czyli a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.