Question

1.Które spośród liczb rzeczywistych są mniejsze od swoich sześcianów i większe od swoich odwrotności? – odpowiedź uzasadnij.

Answer 1

X∈R
1/x < x < x³

1)
1/x < x
1 < x²
0 < x² -1
0 < (x+1)(x-1) => x >-1 lub x > 1


2)
x<x³
1<x²
1 < x
Odp. x > 1 (odpowiedz spelnia oba warunki)

Answer 2

Na samym początku odrzucamy wszystkie ułamki gdyż są one albo wiekszę od swoich sześcianów albo im równe.
zero także odrzucamy gdyż zero zawsze jest zerem a jej odwrotnoscia takze jest zero.
jeden także odrzuamy z podobnych powodów jak zero.
a wiec które liczby są:
są mniejsze od swoich sześcianów i większe od swoich odwrotności?
wszystkie liczby całkowite , gdyż sześcian dowolnej liczby całkowitej WIĘKSZEJ OD JEDEN jest wiekszy od tej dowolnej liczby dokładnie o tą liczbe podniesioną do kwadratu a wiec pierwszy warunek mamy spełniony.
jeśli zapiszemy dowolna liczbe całkowita w postaci ułamka zwykłego to mamy:
x/1
a wiec odrotnościa bedzie:
1/x oczywiste jest że
x>1/x
to samo dotyczy liczb ujemnych całkowitych poczynając od 2
odp. Jest to ZBIÓR (nie przedział) poczynając od -nieskończoność do -2 suma od 2 do +nieskończoność.

Answer 3

1.Które spośród liczb rzeczywistych są mniejsze od swoich sześcianów i większe od swoich odwrotności? – odpowiedź uzasadnij

x-liczba
1/x-odwrotność liczby x
x³-sześcian liczby x

układam nierówność

1/x < x < x³→

1/x<x i x<x³

rozdziele i kazda rozwiazae kolejno a na koniec czesc wspolna

1/x < x
1/x-x<0 do wspolnego mianow
(1-x²)/x<0 postac iloczynowa
(1-x)(1+x)*x<0

x =-1 v x = 1 v x=0
rysuijemy wężyk od prawej od dołu i maamy
x∈(-1,0)u(1,∞)

teraz druga

x<x³
x³-x>0
x(x²-1)>0
x(x-1)(x+1)>0
x=0 v x=1 v x=-1
rysujemy wezyk od prawej od góry i mamy
x∈ (-1,0)u(1,∞)

teraz mamy
poniewz w obu przypadkach identyczne to liczby są mniejsze od swoich sześcianów i większe od swoich odwrotności gdy należą do przedziałoów (-1,0)u(1,∞)