Question

1)Jaki wielokąt ma o 25 więcej przekątnych niż boków ?
2)Czy istnieje wielokąt , który ma o 10 więcej przekątnych niż boków?
3) Oblicz miary kątów wewnętrznych:
a)pięciokąta foremnego,
b) dziewięciokąta foremnego.

Answer 1

1). Niech n oznacza liczbę boków, a p liczbę przekątnych, wtedy:
p = n + 25. Znany jest wzór na ilość przekątnych:
p = n(n-3) / 2. Podstawmy zatem pod p liczbę n + 25, otrzymamy:
n + 25 = n(n-3)/2 / *2
2(n+25) = n(n-3)
2n + 50 = n² - 3n. Doprowadźmy równanie do postaci:
an² + bn + c = 0. Przenieśmy więc n² i -3n ze zmienionym znakiem. Otrzymujemy:
2n + 50 - n² + 3n = 0. Uporządkujmy wielomiany.
-n² + 5n + 50 = 0. Mamy równanie kwadratowe. Skoro liczymy liczbę boków (n), wyznaczmy zatem dziedzinę. Wiadomo, że nie możemy mieć 0 boków i liczbę boków, która jest liczbą ujemną, oraz, że liczba boków należy do zbioru liczb naturalnych, zatem:
D: n∈N₊ Wyliczmy teraz równanie. Obliczmy deltę:
Δ = 25 + 200
Δ = 225 (mamy zatem 2 rozwiązania).
n₁ = -5 - 15 / -2 = 10 ∈ D
n₂ = -5 + 15 / -2 = -5 ∉ D.
Zatem n = 10, więc jest to dziesięciokąt.
Odpowiedź: Figurą tą, jest dziesięciokąt.
2) Zróbmy to samo, co wtedy. Niech n będzie liczbą boków, a p liczbą przekątnych, wtedy:
p = n + 10. Podstawmy do wzoru:
p = n(n-3)/2 pod p liczbę n + 10, wtedy:
n+10 = n(n-3) / 2 /*2
2n + 20 = n² - 3n
-n² + 5n + 20 = 0.
Δ = 25 + 80
Δ = 105. Zauważmy, że jeśli pod "n" podstawimy wzór ze wzoru Viete'a, tzn: -b ± pierwiastek z delty / 2a, zauważmy, że pierwiastek z delty NIE będzie liczbą wymierną, zatem nie będzie naturalną. Reszta liczb będzie naturalna, a jak jedna z nich będzie niewymierna, analogicznie wynik będzie niewymierny, a żaden wielokąt nie ma niewymiernej ilości boków, zatem nie istnieje taki wielokąt, który ma o 10 przekątnych więcej niż boków.
Odpowiedź: Nie istnieje taki wielokąt.
3) a) Wzór na sumę miar kątów w wielokącie wypukłym to:
S = (n - 2) * 180°, gdzie n - liczba kątów i S - suma miar kątów wewnętrznych. Wiemy, że pięciokąt ma pięć kątów, zatem n = 5. Podstawmy to.
S = (5 - 2) * 180 °
S = 3 * 180°
S = 540 °. Skoro jest foremny, musi mieć wszystkie kąty równe, zatem wystarczy podzielić na pięć, by obliczyć jeden z nich.
α = 540° : 5
α = 108° (pozostałe kąty mają tę samą miarę)
Odpowiedź: Wszystkie kąty wewnętrzne pięciokąta foremnego mają miarę 108°.
b) Dziewięciokąt foremny ma 9 kątów wewnętrznych, zatem we wzorze n = 9.
S = (9 - 2) * 180°
S = 7 * 180°
S = 1260°
W dziewięciokącie również wszystkie kąty są takie same, zatem wystarczy podzielić na 9 (tyle mamy kątów), by obliczyć jednego z nich.
α = 1260° : 9
α = 140°
Odpowiedź: Każdy z kątów dziewięciokąta foremnego ma miarę 140°.