1.Funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx-4 jest malejąca w przedziale (minus nieskończończoności ; -1> i ro.... Question from @kamil95514

October 2018 1 165 Report

1.Funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx-4 jest malejąca w przedziale (minus nieskończończoności ; -1> i rosnąca w przedziale <-1,nieskończoności). Wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji należy do prostej y=3x-1,5. Zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Wyznacz miejsce zerowe tej funkji.

2.Liczby -2 i 4 są miejscami zerowymi funkcji f(x)=-½x^2+bx+c

a) wyznacz współczynniki b i c, a następnie naszkicuj wykres tej funkcji f.

b)dla jakich wartości x wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji

g(x)=x+2 ?

3.naszkicuj wykres funkcji f. Wyznacz jej miejsce zerowe, oraz przedziały monotoniczności.

-x^2-2x+3 dla x <0

f(x)= x^2-4x+3 dla x≥0

Zgłoś nadużycie!

1. Z przedziałów wynika, że wierzchołek paraboli ma współrzędne x=-1 i y=-4,5 (policznone przez podstawienie x do prostej). No i oczywiście liczymy deltę, przyda się potem:
$\Delta=b^2-4a(-4)=b^2+16a$
No i jeszcze żeby wszystko miało sens:
$a\neq 0$
$b\neq 0$
Postać kanoniczna:
$y=a(x-p)^{2}+q$
Gdzie:
$p=\frac{-b}{2a}$
$q=\frac{-\Delta}{4a}$
Są to również współrzędne wierzchołka paraboli:
$\begin{cases} p=-1\\q=-4,5 \end{cases}$
$\frac{-b}{2a}=-1|*(-2a)$
$b=2a$
$\frac{-\Delta}{4a}=-4,5|*(-4a)$
$b^2+16a=18a$
$b^2=2a$
$\begin{cases} b=2a\\b^2=2a \end{cases}$
$b^2=b$
To daje dwie możliwości (0 i 1), ale jedna jest wyrzucona w założeniach. Stąd:
$\begin{cases} b=1\\a=\frac{1}{2} \end{cases}$
No i mamy wszystko do postaci kanonicznej:
$y=\frac{1}{2}(x+1)^{2}-4,5$
Teraz liczymy miejsca zerowe:
$\Delta=b^2+16a=1+8=9$
$\sqrt{\Delta}=3$
$x_1=\frac{-1-3}{1}=-4$
$x_2=\frac{-1+3}{1}=2$

2. $f(x)=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$
$a=-\frac{1}{2}$
$x_1=-2$
$x_2=4$
a)
$\begin{cases} x_1+x_2=\frac{-b}{a}|*(-a)\\x_1*x_2=\frac{c}{a}|*a \end{cases}$
$\begin{cases} -2a=b\\-8a=c \end{cases}$
$\begin{cases} b=1\\c=4 \end{cases}$
Wykres w załącznikach.
b)
$-\frac{1}{2}x^2+x+4=x+2$
$-\frac{1}{2}x^2+2=0|*(-2)$
$x^2-4=0$
$(x-2)(x+2)=0$
Przecinają się dla x=-2 i x=2. Z rysunku (w załącznikach):
x należy do przedziału (-2;2)