Question

1.Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni wysokość ostrosłupa jest równa 6 oblicz objętość bryły
2. Punkty A=(2,0) B(8,3) C(7,4) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego o podstawie AB i CD Wyznacz wsporzędne wierzchołka D tego trapezu

Answer 1

1.Odległość spodka wierzchołka leżący na podstawie od krawędzi podstawy:
H/r=tgα
r=H/tgα=6/tg60°=6/√3=2√3
Odległość ta jest też równa(a to długość boku podstawy):
r=a√3/6
2√3 = a√3/6
a = 2√3 / (√3/6) = 12
Pole podstawy:
Pp=a²√3/4=12²√3/4=36√3
Objętość:
V=1/3∙Pp∙H=1/3 ∙ 36√3 ∙ 6 = 72√3

2. Długość ramienia AD musi być równa długości ramienia BC:
|BC|=√[(8-7)²+(3-4)²]=√(1+1)=√2
Punkt D musi leżeć na okręgu o środku A i promieniu |BC|:
(x-2)²+y²=2

Punkt D musi też leżeć na prostej równoległej do AB przechodzącej przez punkt C:
Najpierw wyznaczmy równanie prostej z podstawą AB:
0=2a+b
3=8a+b
______-
3=6a
a=1/2
b nie jest nam potrzebne. Teraz wyznaczmy równanie prostej z podstawą CD
4=7∙1/2+b
b=4-3 1/2 = 1/2

y=1/2x+1/2 
Razem z równaniem okręgu stanowią układ równań który trzeba rozwiaząć:
(x-2)²+y²=2
(x-2)²+(1/2x+1/2)²=2
x²-4x+4+1/4x²+1/2x+1/4=2
5/4 x² -3 1/2 x +2 1/4  =0
5x² -14x +9 =0
Δ=196 -4∙5∙9 = 196-180 = 16
√Δ=4
x1=(14-16)/5=-2/5
x2=(14+16)/5=3

x1 odpowiada wierzchołkowi równoległoboku (bo jest dalej oddalony od punktu C), a nam chodzi o trapez wiec odpowiedni będzie tu punkt x2
y=1/2∙3+1/2=2

Punkt D ma współrzędne (3,2)