1.Dany jest okrąg o środku O i promieniu r. Z punktu (|OP|>r) poprowadzono styczną do okręguw punkci.... Question from @blancik100g

November 2018 1 11 Report

1.Dany jest okrąg o środku O i promieniu r. Z punktu (|OP|>r) poprowadzono styczną do okręguw punkcie A oraz sieczną, która przecięła okrąg w punktach B i C (|PB<|PC|). Wykaż, że jeśli |kąt OPA| = 30° oraz |PB| = 1.5r, to obwód czworokąta AOCP jest równy (4+ $\sqrt{3}$ )r.

2.Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, ze:
a) sinα = - $\frac{5}{13}$ i $\alpha$ ε (180°, 270°)
b) tg $\alpha$ = - $\frac{12}{5}$ i α ε (270°, 360°)
c) ctg α = $\frac{8}{15}$ i α ε (180°, 270°)
d) cos α = $\frac{2}{3}$ i α ε (270°, 360°)

lea2 1) |AO|=|OC|=r, bo są to promienie tego okręgu
Rozważmy trójkąt AOP, jest on prostokątny (|<PAO|=90st), kąt OPA ma 30 st, więc z własności trygonometrycznych |OP|=2r, |AP|=r* $\sqrt{3}$
Z twierdzenia o siecznych:
|PC|*|PB|= $|AP|^{2}$
Niech |BC|=x, wtedy
(x+1,5r)*1,5r= $(r \sqrt{3}) ^{2}$
1,5rx+2,25 $r^{2}$ =3 $r^{2}$
1,5x=0,75r
x=0,5r

Obwód AOCP to:
|AO|+|OC|+|BC|+|BP|+|AP|=r+r+0,5r+1,5r+ $r \sqrt{3}$ =(4+ $\sqrt{3}$ )*r

2)
a) $sin \alpha = \frac{5}{13}$
$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha =1$
$cos^{2} \alpha =1- sin^{2} \alpha =1- (\frac{5}{13} )^{2} =1- \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
$cos \alpha = \frac{12}{13}$ lub $cos \alpha =- \frac{12}{13}$
Kąt $\alpha$ należy do III ćwiartki, więc cos jest ujemny (tak jak i sinus).
$tg \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha } = \frac{ -\frac{5}{13} }{- \frac{12}{13} } = \frac{5}{12}$
$ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha } = \frac{12}{5}$

b) $tg \alpha =- \frac{12}{5}$
$ctg \alpha =- \frac{5}{12}$
$tg \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha } =- \frac{12}{5}$
$sin \alpha =- \frac{12}{5} *cos \alpha$
$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha =(- \frac{12}{5}cos \alpha )^2+cos^2 \alpha =1$
$\frac{169}{25} cos^2 \alpha =1$
$cos^2 \alpha = \frac{25}{169}$
$cos \alpha = \frac{5}{13}$ lub $cos \alpha =- \frac{5}{13}$ ,
ale $\alpha$ należy do IV ćwiartki, więccos jest dodatni
zatem $sin \alpha =- \frac{12}{5} * \frac{5}{13} =- \frac{12}{13}$

c) $ctg \alpha = \frac{8}{15}$
$tg \alpha = \frac{15}{8}$
$sin \alpha = \frac{15}{8} * cos \alpha$
$\frac{225}{64} *cos^2 \alpha +cos^2 \alpha =1$
$\frac{289}{64} cos^2 \alpha =1$
$cos^2 \alpha = \frac{64}{289}$
$cos \alpha = \frac{8}{17}$ lub $cos \alpha = - \frac{8}{17}$
ale $\alpha$ należy do III ćwiartki, więc cos jest ujemny
czyli $sin \alpha = \frac{15}{8} *- \frac{8}{17} =- \frac{15}{17}$

d) $cos \alpha = \frac{2}{3}$
$sin^2 \alpha =1- \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
$sin \alpha =- \frac{ \sqrt{5} }{3}$ lub $sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{3}$
i $\alpha$ należydo IV ćwiartki, więc sin jest ujemny, itd.