Question

1.Dane sa odciniki o dlugosciach 2sqrt3cm, 4sqrt2cm. Jaka dlugosc musi miec trzeci odcinek, aby z tych trzech odcinkow bylo zbudowac trojkat prostokatny?

2.Dany jest trojkat o bokach 6cm, 8cm, 10cm. Czy z czterech takich trojkatow mozna zbudowac:
a)romb b)prostokat c)rownoleglobok, ktory nie jest ani rombem, ani prostokatem d)trapez, ktory nie jest rownoleglobokiem e)deltoid?

3. Trojkat o bokach x,y,z jest prostokatny. Uzasadnij, ze trojkat o bokach zx, ay, az tez jest prostokatny, jezeli a jest liczba dodatnia.

prosze pilnie o pomoc!

Answer 1

1.

Zauważ, że 2 * sqrt(3) < 4 * sqrt(2). Bok   2 * sqrt(3) nie może być przeciwprostokątną.

Pozostają 2 sytuacje:

a) Bok 4 * sqrt(2) jest przeciwprostokątną. Trzeci bok x musi spełniać równanie:

 

( 2 * sqrt(3))^2 + x^2 = ( 4 * sqrt(2))^2 ; stąd

12 + x^2 = 32

x^2 = 20

x = sqrt(20) = 2 * sqrt(5) cm

 

 

b) Bok  4 * sqrt(2) jest przyprostokątną. Trzeci bok x musi spełniać równanie: 

( 2 * sqrt(3))^2 + ( 4 * sqrt(2))^2  = x^2 ; stąd 

 

12 + 32 = x^2

x^2 = 44

x = sqrt(44) = 2 * sqrt(11) cm

==============================

 

2.

Podany trójkąt jest prostokątny,

ma przyprostokątne 6 cm i 8 cm oraz przeciwprostokątną 10 cm.

(sprawdź: 6*6 + 8*8 = 100 = 10*10) 

 

Sklej po 2 takie trójkąty bokami po 4 cm (jeden trójkąt trzeba obrócić)

Jak skleisz pierwszą taką parę z drugąbokami po 3 cm dostajesz (c).

 

Sklej po 2 trójkąty bokami 5 cm. Masz prostokąt. Składając 2 takie prostokąty masz (b)

 

Doklejając natomiast do pary, tworzącej prostokąt po jednym trójkącie do każdego boku 4 cm masz (d).

 

 Sklej 2 pary po 2 trójkąty bokami 4 cm ale nie odwracaj jednego z trójkątów (boki 3cm mają leżeć na jednej prostej). Sklej pary bokami 3 cm. Masz (a) i jednocześnie (e) bo każdy romb jest deltoidem.

==============================  

 

3.

Chyba powinno być:   trojkat o bokach ax, ay, az tez jest prostokatny.... ?

Wtedy z warunku, że trójkąt x, y, z jest prostokątny wynika, że 

[ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ] 

 

x^2 + y^2 = z^2  (załóżmy, że z jest największe, poza tym x, y, z są większe od zera)

 

Mnożymy obie strony przez a^2, zakładamy, że a > 0 

 

 a^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 z^2  ;  ale można to zapisać jako:

 

(ax)^2 + (ay)^2 = (az)^2 ; czyli trójkąt o bokach ax, ay, az spełnia tw. Pitagorasa,

jest więc prostokątny

 

Analogiczny dowód można przeprowadzić jeżeli największą liczbą jest x lub y. 

==============================