Question

1.Ciąg (an) określony jest wzorem an=3n+2. Wyznacz n wiedząc, że

a) a₂n₊₁=53

b) an₋₂+ an₊₁+an₊3=102

c) a₄n-a₃n=15

2. Wiemy że suma n-początkowych wyrazów ciągu(an) jest wyrażona wzorem Sn=n²-3n

a) wyznacz czwarty wyraz ciągu (an)

b) wyznacz a₁ oraz wzór na n-ty wyraz ciągu (an) dla n≥2

Answer 1

z.1

a)

an = 3 n + 2

zatem

an+1 = 3*( n + 1) + 2 = 3 n + 3 + 2 = 3 n + 5

Mamy więc

a n+1 = 53 ,  czyli  3 n + 5 = 53

3 n = 48

 n = 16

=============

b)

an = 3 n + 2

zatem

a n -2 = 3*( n -2) + 2 = 3 n - 6 + 2 = 3 n - 4

a n + 1 = 3 n + 5

a n + 3 = 3*(n + 3) + 2 = 3 n + 9 + 2 =  3 n + 11

Mamy więc

( 3 n - 4) + (3 n + 5) + ( 3 n + 11 ) = 102

9 n + 12 = 102

9 n = 90

 n = 10

=======

 c)

an = 3 n + 2

więc

a4n = 3*(4n) + 2 = 12 n + 2

a3n = 3*(3n) + 2 = 9 n + 2

czyli

a4n - a3n = ( 12 n + 2) - ( 9 n + 2) = 3 n

zatem

3 n = 15

n = 5

=======

z.2

a)

Sn = n^2 - 3 n

------------------------

a1 = S1 = 1^2 - 3*1 = 1 - 3 = - 2

---------------------------------------

a1 + a2 = S2 = 2^2 - 3*2 = 4 - 6 = - 2

- 2 + a2 = - 2

zatem

a2 = 0

----------

a1 + a2 + a3 = S3 =3^2 - 3*3 = 9 - 9 = 0

- 2 + 0 + a3 = 0

zatem

a3 = 2

-------------

a1 + a2 + a3 + a4 = S4 = 4^2 - 3*4 = 16 - 12 = 4

- 2 + 0 + 2 = a4 = 4

zatem

a4 = 4

=========

b )

a1 = - 2

a1 + a2 = a3 + ... + an- 1 + an = Sn

Sn-1 + an = Sn

an = Sn - Sn-1 = [ n^2 - 3 n ] - [ ( n-1)^2  - 3*( n -1)] =

= n^2 - 3 n - [ n^2 - 2 n + 1 - 3 n + 3 ] =

= n^2 - 3 n - n^2 + 5 n  - 4 =  2 n - 4

an = 2 n - 4

===========