Question

Oblicz obwody narysowanych trójkątów.


Zadanie 6/150 Matematyka 2
Przykład B i C.

Answer 1

W tym zadaniu będziemy wykorzystywać zależności trójkątów szczególnych. Znamy dwa trójkąty szczególne:

1) trójkąt prostokątny o kątach 45,45,90 - jest to połowa kwadratu stąd obie przyprostokątne mają taką samą długość - a, natomiast przeciwprostokątna wyraża się wtedy wzorem a√2

2) trójkąt prostokątny o kątach 30,60,90 - jest to połowa trójkąta równobocznego i zależności między bokami wynikają z tej własności: naprzeciw kąta 30 st, jest bok a, naprzeciw kąta 60 st a√3, naprzeciw kąta prostego (przeciwprostokątna) ma długość 2a

Wracając do zadania:

a)
Mamy dwa trójkąty szczególne
- po prawej 45,45,90 - boki 4 ma wysokość, 4 ma odcinek na dole, 4√2 przeciwprostokątna
- po lewej 30,60,90 - boki:  naprzeciw 30 - 4 (a), naprzeciw 60 (druga przyprostokątna) - 4√3 (a√3), przeciwprostokątna - 8 (2a)

Obwód: 4√2+4+4√3+8 = 12+4√2+4√3

b) Wrysowując wysokość mamy dwa trójkąty:
- po prawej 30,60,90 - znamy przeciwprostokątna - 6 (2a), zatem a = 3, naprzeciw kąta 30 bok 3 (dolna przyprostokątna), naprzeciw kąta 60 bok 3√3 (wysokość)
- po lewej 45,45,90 - znamy wysokość 3√3 (a), druga przyprostokątna ma także 3√3 (a), przeciwprostokątna ma 3√3*√2=3√6

Obwód = 6+3+3√3+3√6=9+3√3+3√6

c) Aby rozwiązać to zadanie należy zauważyć dwa trójkąty prostokątne - duży (zawierający cały rysunek) i mały narysowany liniami przerywanymi:

- duży trójkąt: ma kąty 30,60,90, znamy przeciwprostokątna 10 (2a), stąd a=5. Zatem bok naprzeciw kąta 30° (pionowa przyprostokątna) ma 5, a druga (pozioma cała) ma 5√3.
- mały trójkąt ma kąty 45,45,90 - znamy pionową przyprostokątną 5 (a), pozioma (tylko część przerywana) ma też 5 (a), a przeciwprostokątna 5√2.

Trójkąt szukany ma boki:
10
5√2
5√3-5

Obwód= 10+5√2+5√3-5=5+5√2+5√3