Question

12.21.
Pole trójkąta prostokątnego jest równe 84cm2, suma długości przyprostokątnych jest równa 26 cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

13.1.
Oblicz obwód czworokąta ABCD, gdy: A=(-1,1), B=(-3,-4), C=2,-2), D=(4,3).

13.2.
Sprawdź czy trójkąt ABC jest prostokątny, gdy:
a) A=(7,-1), B=(3,2), C=(-3,-1)
b) A=(2,1), B=(1,5), C=(-7,3)
c) A=(5,0), B=(1,8), C=(-5,5)

13.3.
Sprawdź czy trójkąt ABC jest podobny do trójkąta MPN, gdy:
A=(1,0), B=(3,3), C=(-1,4), M=(3,-2), P=(-5,-4), N=(-1,6)

Answer 1

12.21
x- dł jednej przyprostokatnej
26 - x - dł. drugiej przyprostokątnej
½×x×(26-x) = 84 /×2
26x -x² = 168
-x² + 26x - 168 = 0
x² - 26x + 168 = 0
Δ= 4 √Δ=2
x₁= 12 x₂= 14
1. x=12 26-12=14
2.x=14 26-14=12
przyprostokątne mają 12cm i 14 cm

13.1.
po narysowaniu widac ze jest to romb, a wiec wszystkie boki ma równe
AB=BC=CD=DA= √(4-2)²+(3-(-2))²=√29
ob=4√29cm

13.2
a) A=(7,-1), B=(3,2), C=(-3,-1)
AB = √(3-7)²+(2-(-1))²=√25=5
BC= √(-3-3)²+(-1-2)²=√45=3√5
AC=√(-3-7)²+(-1-(-1))²=√100=10
AB < BC< AC
5²+ (3√5√)²= 10²
25+45 = 100
70≠100 czyli trójkąt nie jest prostokątny
b) c) analogicznie

Answer 2

12.21.

x - przyprostokatna
y - druga przyprostokatna

PΔ = 1/2 * x * y
PΔ = 84
1/2 * x * y = 84
x * y = 168

suma długosci przyprostokątnych jest równa 26cm
x + y = 26
x = 26 - y

x * y = 168
(26 - y) * y = 168
-y² + 26y - 168 = 0
Δ = 4
√Δ = 2

y1 = 14
y2 = 12

x1 = 26 - 14
x1 = 12

x2 = 26 - 12
x2 = 14

przyprostokatne maja dlugosci 14cm i 12cm

13.1

AD=√(4+1)²+(3-1)²=√29
AB=√(-3+1)²+(-4-1)²=√29
BC=√(2+3)²+(-2+4)²=√29
DC=√(2-4)²+(-2-3)²=√29

BD=√(4+3)²+(3+4)²=7√2
AC=√(2+1)²+(-2-1)²=3√2
pole=½×7√2×3√2=21j.²

13.2.

a)
AB=5
ac=10
BC=3
3²+5²=10²
9+25=100
34≠100

nie
b)AB=√17
BC=2√17
AC=√85

(√17)²+(2√17?)²=(√85)²
17+68=85
85=85
tak

c)AB=4√5
AC=5
BC=3√5

5²+(3√5)²=(4√5)²
25+45=80
70≠80
NIE

13.3.

AB=√13
AC=2√5
BC=√17

MP=2√17
MN=3√13
PN=√65

K=MN:AC=3√13:2√5=0,3√65
PN:AB=√65:√13=√845/13
NIE JEST PODOBNY

Answer 3

12.21.
P = 84 cm² = ½ab
a + b = 26 cm

a*b = 168
a+b = 26

b = 26-a
(26-a)*a = 168

26a - a² - 168 = 0

Δ = 26² - 4*(-1)*(-168) = 676 - 672 = 4
√Δ = 2

a₁ = 14 cm a₂ = 12 cm
b₁ = 12 cm b₂ = 14 cm

13.1.
Oblicz obwód czworokąta ABCD, gdy:
A=(-1,1),
B=(-3,-4),
C=(2,-2),
D=(4,3).

|AB| = √(-3+1)² + (-4-1)² = √ 4 + 25 = √29
|BC| = √(2+3)² + (-2+4)² = √29
|CD| = √(4-2)² + (3+2)² = √29
|DA| = √(-1-4)² + (1-3)² = √29

l = 4√29

13.2.
Sprawdź czy trójkąt ABC jest prostokątny, gdy:
a) A=(7,-1), B=(3,2), C=(-3,-1)
|AB| = √(3-7)² + (2+1)² = √16 + 9 = 5
|BC| = √(-3-3)² + (-1-2)² = √36 + 9 = √45
|CA| = √(7+3)² + (-1+1)² = √100 = 10

|AB|² + |BC|² = |CA|²
5² + (√45)² = 10²
70 ≠ 100
trójkąt nie jest prostokątny

b) A=(2,1), B=(1,5), C=(-7,3)
|AB| = √(1-2)² + (5-1)² = √1 + 16 = √17
|BC| = √(-7-1)² + (3-5)² = √64 + 4 = √68
|CA| = √(2+7)² + (1-3)² = √81 + 4 = √85

(√17)² + (√68)² = (√85)²
85 = 85
trójkąt jest prostokątny

c) A=(5,0), B=(1,8), C=(-5,5)
|AB| = √(1-5)² + (8-0)² = √16 + 64 = √80
|BC| = √(-5-1)² + (5-8)² = √36 + 9 = √45
|CA| = √(5+5)² + (-5)² = √100 + 25 = √125

(√80)² + (√45)² = (√125)²
125 = 125
trójkąt jest prostokątny

13.3.
Sprawdź czy trójkąt ABC jest podobny do trójkąta MPN, gdy:
A=(1,0), B=(3,3), C=(-1,4), M=(3,-2), P=(-5,-4), N=(-1,6)

|AB| = √(3-1)² + 3² = √13
|BC| = √(-1-3)² + (4-3)² = √16 + 1 = √17
|CA| = √(1+1)² + (-4)² = √20

|MP| = √(-5-3)² + (-4+2)² = √68
|PN| = √(-1+5)² + (6+4)² = √116
|NM| = √(3+1)² + (-2-6)² = √80

stosunki boków nie są sobie równe, więc trójkąty nie są podobne