Question

Zadanie. Długości ramion trapezu mają długości 3 i 5. Odcinek łączący środki tych ramion dzieli trapez na dwie części w ten sposób, że stosunek ich pól jest równy 5:11 (5/11). Oblicz, jakie jest pole trapezu wiedząc, że można w niego wpisać okrąg.

Bardzo proszę o jak najszybsze rozwiązanie. Pilne:)

z góry dziękuję:)

Answer 1

Dany jest trapez o podstawie dolnej długości a i podstawie górnej długości b oraz ramionach równych 3 i 5.

Jeśli w trapez można wpisać okrąg, to sumy przeciwległych jego boków są równe, czyli mamy a+b= 3+5, stąd b= 8-a

Odcinek x łączący środki ramion trapezu o podstawach a i b jest równy średniej arytmetycznej jego podstaw, czyli ma długość x= (a+b):2, teraz wstawiamy za b=8-a, stąd x= (a+8-a):2= 8/2=4

Odcinek x jest też równoległy do obu podstaw, więc podzieli trapez na dwie części, które też są trapezami i stosunek ich pól P₁:P₂ = 5:11

Pole I części P₁= ½(a+x)*h₁

Pole II części P₂= ½(x+b)*h₂

Ponieważ w trapez wpisany jest okrąg, więc można zauważyć, że h₁=h₂, bo są równe promieniowi okręgu wpisanego

Skoro

P₁:P₂ = 5:11

i x= 4

i a+b= 8

to otrzymujemy

{½(a+4)*h₁}:{½(4+b)*h₂}= (a+4):(4+b)= 5:11

i a+b= 8

Mamy układ równań

11*(a+4)= 5*(4+b)

{

a+b=8

 

11a+44=20+5b

{

a+b=8 /*5

 

11a-5b=-24

{

5a+5b=40

Korzystamy z metody wspóczynników przeciwnych i dodajemy stronami:

16a= 16, stąd a = 1

i teraz podstawiamy do drugiego równania a+b= 8, 1+b= 8, b=7

Następnie korzystamy z tw. Pitagorasa

{w trójkącie o bokach 3, 5 i  trzecim boku b-a=6 - prowadzimy równoległy odcinek do jednego ramienia - wtedy otrzymujemy równoległobok i trójkąt}

i obliczamy wysokość powstałego trójkąta h, która jest też wysokością trapezu:

h² + c²= 5² i h²+ (6-c)² = 3² ,

h²+ c²= 25 i h²+ (6-c)² = 9 ,

h²= 25-c² i h²= 9- (6-c)², stąd

25-c²= 9- (6-c)²

25-c²= 9- (36- 12c+ c²)

9- 36+12c- c²= 25-c²

12c= 25+36-9

12c= 52

c= 52/12= ¹³/₃

h²+ c²= 25

h²+ (¹³/₃)² = 25

h²+ ¹⁶⁹/₉ = ²²⁵/₉

h²= ⁵⁶/₉

h= √(⁵⁶/₉)

h= √56/₃

Pole trapezu

P= ½(a+b)*h= ½*8*√56/₃= 4√56/₃