100 ptk! Proszę, na jutro muszę to mieć!! Wykaż, że obrazem okręgu o: x²+y²+6x-2y+6=0 w przekształceniu P określonym wzorem P((x,y))=(1+3x , -3y-2), gdzie x,y∈R, jest okrąg. Zbadaj wzajemne położenie okręgu i jego obrazu.
MrPolygon
Przekształcamy równanie okręgu do postaci .
Mamy:
Z czego dostajemy:
Okrąg o ma więc równanie:
Powiedzmy, że przekształcenie P przeprowadza punkt o współrzędnych (x,y) w punkt o współrzędnych (p,q), tzn.:
Czyli:
Wyznaczamy z tego x oraz y:
Wstawiamy te dwa wyrażenia zamiast iksa i igreka do równania okręgu:
Faktycznie otrzymaliśmy równanie okręgu :) Wobec tego obrazem okręgu o w przekształceniu P będzie okrąg o równaniu:
Aby określić wzajemne położenie tych dwóch okręgów, musimy mieć długości ich promieni:
oraz odległość między ich środkami, tzn. między punktami (-3,1) i (-8,-5):
Mamy:
więc te okręgi się przecinają (mają dwa punkty wspólne).
Mamy:
Z czego dostajemy:
Okrąg o ma więc równanie:
Powiedzmy, że przekształcenie P przeprowadza punkt o współrzędnych (x,y) w punkt o współrzędnych (p,q), tzn.:
Czyli:
Wyznaczamy z tego x oraz y:
Wstawiamy te dwa wyrażenia zamiast iksa i igreka do równania okręgu:
Faktycznie otrzymaliśmy równanie okręgu :) Wobec tego obrazem okręgu o w przekształceniu P będzie okrąg o równaniu:
Aby określić wzajemne położenie tych dwóch okręgów, musimy mieć długości ich promieni:
oraz odległość między ich środkami, tzn. między punktami (-3,1) i (-8,-5):
Mamy:
więc te okręgi się przecinają (mają dwa punkty wspólne).