Question

1) Z kwadratowego arkusza o polu 1600cm kwadratowych wycinamy w rogach kwadraty tak,abyt po odpowiednim sklejeniu otrzymac otwarte pudełko.Jaka powinna byc długosc boków wycinanych kwadratów,aby pole powierzchni bocznej było najwieksze? Oblicz to pole

2) Mamy 28m biezocych siatki ogrodzeniowej.Chcemy ogrodzic prostokatny ogrodek przylegający jednym z boków do ściany domu. Jakie powinny być wymiary ogródka,aby jego powierzchnia była jak najwieksza?

Answer 1

W załączniku rysunki do zadań

 

Zad 1

Arkusz ma pole 1600cm kwadratowych a skoro jest kwadratem to bok tego arkusza ma 40cm. Wycinamy kwadraty w rogach o boku x. Wówczas w środku pozostaje nam podstawa pudełka a po bokach ściany i te nas interesują bo mamy mieć jak największe pole powierzchni BOCZNEJ. Jedna ściana boczna to prostokąt o bokach x oraz 40-2x. Jego pole to x(40-2x)=40x-2x^2. Mamy 4 takie prostokąty więc ich pole to 4*(40x-2x^2)=-8x^2+160x. Mamy obliczyć największą wartość tej funkcji. Funkcja ta ma ujemny współczynnik przy x^2 więc największa wartość będzie w wierzchołku. Obliczam x wierzchołka. xw=-b/2a=-160/-16=10

Mysimy wyciąć kwadraty o boku długości 10cm. Mamy obliczyć pole powierzchni bocznej, więc P=4*10cm*(40cm-20cm)=4*10cm*20cm=800cm kwadratowych.

 

Zad:2

Mamy 28 metrów siatki. Ogrodzenie ma przylegać do domu więc siatką musimy ogrodzić z 3 stron. Skoro ma to być prostokąt to 2 boki muszą być równe (oznaczam je jako a) i jeden ma długość b. W sumie mają mieć 28 metrów więc:

2a+b=28

Powierzchnia ogródka to a*b

Z pierwszego równania wyliczam b:

b=28-2a

Podstawiam do wzoru na powierzchnię:

a*b=a*(28-2a)=-2a^2+28a

Szukam największej wartości tej funkcji analogicznie jak w zadaniu 1:

aw=-b/2a=-28/-4=7

a=7

b=28-2*7=28-14=14

Ogródek powinien mieć wymiary 7m x 14m.