Question

1. Wyznacz współczynnik k, tak aby wskazane wielomiany były równe:

a) f(x)=(x-2)(x^2+kx+2k) i g(x)=x^3+2x^2-4k

2.Zbadaj, czy wielomian f wystąpi w rozkładzie na czynniki wielomianu g.

a) f(x)=x-2 i g(x)=5x^2-7x-6

b) f(x)=2x+1 i g(x)=6x^3+3x^2-4x-2

proszę o pomoc :)

Answer 1

zad. 1.

Dwa wielomiany zmiennej x są równe wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.

 

f(x) = (x - 2)(x² + kx + 2k) i g(x) = x³ + 2x² - 4k

 

f(x) = (x - 2)(x² + kx + 2k) = x³ +kx² + 2kx - 2x² - 2kx - 4k = x³ - (2 - k)·x² - 4k

Zatem f(x) i g(x) są tego samego stopnia i aby były równe to:

-(2 - k) = 2

- 2 + k = 2

k = 2 + 2

k = 4

 

Dla k = 4 otrzymujemy:

f(x) = x³ - (2 - k)·x² - 4k = x³ - (2 - 4)·x² - 4·4 = x³ + 2x² - 16

g(x) = x³ + 2x² - 4k = x³ + 2x² - 4·4 = x³ + 2x² - 16

 

Odp. k = 4

 

Zad. 2.

a)

f(x) = x - 2 i g(x) = 5x² - 7x - 6

I sposób

 (5x² - 7x - 6) : (x - 2) = 5x + 3

-5x² + 10x

----------

             3x - 6

          - 3x + 6

         --------

          R = 0

 

5x² - 7x - 6 = (x - 2)(5x + 3)

 

II sposób

5x² - 7x - 6

a = 5; b = - 7; c = - 6

Δ = (-7)² - 4 · 5 · (- 6) = 49 + 120 = 169; √Δ = √169 = 13

x₁ = (7 - 13) / (2 · 5) = - 6 / 10 = - ⅗

x₂ = (7 + 13) / (2 · 5) = 20 / 10 = 2

5x² - 7x - 6 = 5 · (x + ⅗)(x - 2) = (5x + 3)(x - 2)

 

Odp. Wielomian f(x) występuje w rozkładzie na czynniki wielomianu g(x).

 

b)

f(x) = 2x + 1 i g(x) = 6x³ + 3x² - 4x - 2

 

I sposób

 (6x³ + 3x² - 4x - 2) : (2x + 1) = 3x² - 2

-6x³ - 3x²

---------

               - 4x - 2

                 4x + 2

               -------

                R = 0

 

6x³ + 3x² - 4x - 2 = (2x + 1)(3x² - 2)

 

II sposób

6x³ + 3x² - 4x - 2 = 3x² · (2x + 1) - 2 · (2x + 1) = (2x + 1)(3x² - 2)

 

Odp. Wielomian f(x) występuje w rozkładzie na czynniki wielomianu g(x).