Question

1. Wykres funkcji kwadratowej

2. Ekstremum funkcji kwadratowej oraz jej watość największa i najmniejsza w przedziale

zadania w załącznikach :) daję naj :)

Answer 1

Zad. 2.1b)

Wykresem funkcji f(x) = ax² + bx + c  (a ≠0) powstaje z wykresu funkcji

f(x) =ax² w  przesunięciurównoległym, w którym punkt (0;0) przechodzi na punkt (p,q), gdzie p = -b/2a,  q = -Δ/4a

Wykres funkcji f(x) = ax² +bx +c)  (a ≠0) jest więc obrazem paraboli o równaniu y = ax² o wierzchołku W = (-b/2a;  -Δ/4a) w przesunięciu o wektor 

 u = [-b/2a; -Δ/4a]

 

c) ramiona paraboli skierowane są do góry wtedy i tylko wtedy gdy  a > 0

 

d) ramiona paraboli skierowane są do dołu wtedy i tylko wtedy gdy  a <  0

 

2.2.

y = a(x -p)² +q

y = 1*(x -1)² - 4

 

Obliczam wspólrzędne wierzchołka paraboli

-p = -1        i     q =  -4

p = 1

 

W = (p,q) = (1, -4) - współrzedne wierzchołka paraboli

 

Obliczam miejsca zerowe funkcji

y = 1(x -1)² -4

y = x² -2x +1 - 4

y = x² -2x -3

     x² -2x -3 = 0

     Δ = (-2)² -4*1*(-3) = 4 +12 = 16

√Δ = √16 = 4

x1 = (2 -4): 2*1 = (-2): 2 = -1

x2 = (2 +4) :2*1 = 6 : 2 = 3

 

1) dziedzina funkcji  Df = R

2) Zbiór wartości funcji  y ∈ < - 4, +∞)

3) miejsca zerowe x1 = -1    i  x2 = 3

4)przedziały monotoniczności funkcji

 funkcja maleje dla x ∈(-∞; 1)

funkcja rośnie  dla  x ∈ (1; +∞)

5) Przedziały , w których funkcja pryjmuje wartości dodatnie i ujemne

 Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x ∈ ( -∞; -1) v ( 3; +∞)

 Funkcja przyjmuje wartości ujemne  dla x ∈ ( -1;  3)

 

Zad. 2.2b)

f(x) = - ½(x + 3)² + 2

 

f(x) =  a( x - p)² + q

 

-p = 3     i         q = 2

p = -3      i        q = 2

 

W= (p, q) = ( -3, 2)  - wierzchołek paraboli

 

Obliczam miejsca zerowe ( przeciecie wykresu funkcji z osia OX)

f(x) = - ½(x +3)² +2

f(x) = - ½ (x² +6x +9) +2

f(x) = - ½x² - 3x - 9/2 + 2

f(x) = - ½x² -3x - 5/2

Δ= (-3)² - 4*(-½)*(-5/2) = 9 - 5 = 4

√Δ = √4 =2

x1 = (3 -2):2*(-½) = 1: (-1) =  -1

x2 = (3 +2) : 2*(-½) = 5 : (-1) = -5

 

1) Df = R

2) Zbiór wartości funkcji y ∈ (-∞; -3 >

3) miejsca zerowe x1 = -1   oraz x2 = -5

4) funkcja rośnie dla x ∈ (-∞; -3 )

    funkcja maleje dla x∈ (-3; +∞)

5) funkcja przyjmuje wartości ujemne dla x ∈ (-∞; -5) v ( 1; +∞)

    funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla  x ∈ ( -5;  -1)

 

Zad.2.3

a)

W= (2, -2)

W = (p, q)

 

y = f(x) = a(x -p)² + q

y = f(x) = a(x -2)² -2

 

Miejsca zerowe:

x1 = 4

x2 = 0

y = f(x) =a(x -0)(x -4)

y = f(x)= ax(x -4)

y = f(x) =ax² -4ax

     f(2) = a*2² -4*a*2 = -2

              4a -8a = -2

               -4a = -2       /:(-4)

                  a = (-2): (-4)

                  a =  ½

 

Funkcja ma postać:

y = ½(x- 2)² - 2

y = ½(x² -4x +4) -2

y = ½x² - 2x + 2 -2

y = ½x² - 2x  

   

b)

W = (0,3)

W = (p,q)

p = 0,    i    q = 3

 

y = a(x -p)² + q

y = a(x -0)² + 3

y = ax² + 3

Miejsce zerowe x1 = -2,  x2 = 2

y = a( x +2)(x -2)

y = a(x² -4) = ax² -4a

 

y = ax² + 3

y = ax² -4a

 

ax² +3 = ax² -4a

ax² -ax² +4a = -3

               4a = -3       /:4

                a = - ¾

y = - ¾(x² -4)

y = - ¾x²  +3

 

Zad.2.4

f(x) = 3(x -1)² + m      A = (2,7)           m = ?

                                   x = 2, y = 7

f(2) = 7

3(2 -1)² + m = 7

3*1 + m = 7

        m = 7 -3

        m = 4

 

Zad. 2.5

 f(x) = -2x² +bx +c

A = (0,5)       B=(1, -6)       b= ? , c = ?

 

f(0) = 5

f(1) = -6

 

f(0) = -2*0² + b*0 + c =  5

f(1) = -2*1² + b*1 + c = -6

 

-2*0² + b*0 + c =  5

-2*1² + b*1 + c = -6

 

0 + 0 + c = 5

-2 + b + c = -6

 

c = 5

b +c = -6 +2

 

c = 5

b +5 = -4

 

c = 5

b = -4 -5

 

c = 5

b = -9

 

Zad.3.1

a) dobrze zrobione , wiec nie piszę

b) ekstre4mum funkcji  kwadratowej (tj. minimum lub maksimum) to sa wpółrzedne yw wierzchołka  paraboli  ( yw = q =  - Δ/ 4a )

 

Zad. 3.2

1) y = ½x² -3x +3

   Δ = (-3)² - 4*(½)*3 = 9 - 6 = 3

 

W = (p,q)

W = ( -b/2a;   -Δ/4a )

p = (-b/2a) = (3 / 2*½) = 3/1 = 3

q = (-Δ/4a) = (-3/ 4*½) = (-3)/ 2 = -3/2

Najwiekszej warości nie ma

Najmniejsza wartość  y min = -3/2  dla x = 3

 

2) y = -3x² + 6x

Δ = 6² -4*(-3)*0 = 36 +0 = 36

 

p = -b/2a = -6/2*(-3) = (-6)/(-6) = 1

q = -Δ/4a = -36/ 4*(-3) = -36/(-12) = 3

W = (1, 3)

Najwieksza wartość y max =  3 dla x = 1

Najmniejszej wartości brak

 

3) y = 4x² -12

 Δ = 0² - 4*4*(-12) = 192

 

p = -b/2a = 0 / 2*4 = 0/8= 0

q = -Δ /4a = -192/4*4 = -192/16 = -12

 

Największej wartości brak

Najmniejsza wartośc y min = -12  dla x = 0

 

4) y = -⅔x² +4x -10

Δ = 4² - 4*(-⅔)*(-10) = - 32/3

 

p = -b/2a = (-4)/2*(-⅔) = (-4)/(-4/3) =(-4)*(-3/4) = 3

q = -Δ/4a = (32/3) / 4*(-⅔)= (32/3)*(-⅜) = - 4

Najwieksza wartość ymax =  -4  dla x = 3

Najmniejszej  wartości  brak

 

Zad. 3.3

1) y = 2x² -4x +3

< -3, 2>

Obliczam wierzchołek paraboli W = (p,q)

Δ = (-4)² -4*2*3 = 16 -24 = -8

p = -b/2a = 4/2*2 = 4/4 = 1

q = - Δ/4a = 8/4*2 = 8/8 = 1

W = (p,q) = (1,1)

x = 1 leży w przedziale  < -3,; 2 >, wiec współrzedna q wierzchołka jest najmniejszą wartoscią funkcji

y min = 1  dla x =1

Obliczam najwięksża wartośc funkcji na końcach przedzialu < -3; 2 >

f(- 3) = 2*(-3)² - 4*(-3)+3 = 18 +12 +3 = 33

f(2) =  2*2² -4*2 +3 = 8 -8 +3 = 3

 

Najwieksza wartością jest  ymax  = 33 dla x = -3

 

2) y = 4x² +2x

< 0; 4 >

Δ = 2² -4*4*0 = 4 -0 = 4

 W = (p,q)

p = -b/2a = -2/2*4 = -2/8 = -¼

q = -Δ/4a = -4/4*4 = -¼

Najmniejsza wartość  y min = -¼  dla x = -¼

 

f(0) = 4*0² +2*0 =  0 +0 = 0

f(4)= 4*4² + 2*4 = 64 +8 = 72

Największa wartość y max = 72 dla x = 4

 

3) y = -½x² -2

< -4; 2 >

Δ = 0² -4*(-½)*(-2) = 0 - 4 = -4

W = (p,q)

p = -b/2a = 0/2*(-½) = 0

q = -Δ/4a = 4/4*(-½) = 4/(-2) = -2

Najwieksza wartość  y max = -2  dla x = 0

f(-4) = -½*(-4)² -2 = -½*16 -2 = -8 -2 = -10

f(2) = -½*2² -2 = -½*4 -2 = -2 -2 = -4

Najmniesza wartość y min = -10  dla x = -4

 

4) y = -x² +6x -9

 < 5; 6 >

Δ = 6² - 4*(-1)*(-9) = 36 -36 = 0

W = (p; q)

p = -b/2a = -6/2*(-1) = -6/-2 = 3

q = -Δ/4a = -0/4*(-1) =  0

Najwieksza wartością y max = 0  dla x = 3

 

f(5) = -5² +6*5 - 9 = -25 +30 -9 = -34 +30 = -4

f(6) = -6² +6*6 - 9 = -36 +36 -9 =  -9

Najmniejszą wartoscia y min = -9  dla x = 6

 

Zad. 3.4

 

y = a(x +3)² + q

q = 8

x1 = -1

a = ?

q = ?

 

W = (p, q)

W =  (-3, 8)

y = a(x +3)² +8

 

 

f(-1) = 0

f(-1)= a(-1 +3)² +8 = 0

         a* 2² + 8 = 0

          4a + 8 = 0

           4a = -8         /:4

            a = (-8): 4

            a = -2

y = -2(x +3)² +8

a = -2

q = 8

 

Zad.3.5

y = ax² +bx =c 

y max = -13 dla x = -2

f(-2) = -13  max

W= (-2, -13)

p = -2

q = -13

 

P = (-1; -12)

 

y = a(x - p)² +q

y = a(x +2) -13

 

f(-1) = -12

f(-1) = a (-1 +2)² -13 = -12

          a*1² = -12 +13

           a = 1

y = 1(x+2)² -13

y = x² + 4x +4 -13

y = x² +4x -9