Question

1) Wykaż, że reszta z dzielenia przez 16 sumy kwadratów czterech kolejnych liczb parzystych jest równa 8.

2)Wykaż, że jeśli n∈N i n≥1, to liczba 4^(n+2)-4^n jest podzielna przez 60.

3)Wykaż, że jeśli n∈N, to liczba:

a) 3^n + 3^n+3 + 2^n+2 jest podzielna przez 4

b) 7^n+2 - 2^n+2 + 7^n - 2^n jest podzielna przez 10.

4)Wykaż, że jeśli n∈N i n≥2, to liczba 3^n-2 + 3^n-1 + 3^n + 5^n + 5^n+2 jest wielokrotnością liczby 13

Answer 1

1)

 

zatem reszta z dzielenia przez 16 to 8. 

 

2)

zatem liczba jest podzielna przez 4 i 15 więc jest podzielna przez 60

 

3)a)

zatem liczba jest podzielna przez 4

4)

 

b) jest liczbą parzystą dla

więc liczba jest podzielna przez 5 i 2 więc jest podzielna przez 10.

 

4.

więc liczba jest wielokrotnością liczby 13.

 

 

Answer 2

Zad.1

zał.: 2n-2; 2n; 2n+2; 2n+4 --- 4 kolejne liczby parzyste, gdzie n∈C

teza: (2n-2)²+(2n)²+(2n+2)²+(2n+4)²=16k+8 ,gdzie k∈C

dowód:

(2n-2)²+(2n)²+(2n+2)²+(2n+4)²=

=4n²+4-8n+4n²+4n²+4+8n+4n²+16+16n=

=16n²+16n+24=16(n²+n+1)+8

n²+n+1=k

(n²+n+1)∈C

 

Zad.2

zał.: n∈N i n≥1

teza: 4^{n+2}-4^{n}=60k ,gdzie k∈C

dowód:

4^{n-1}=k

4^{n-1}∈C

 

Zad.3

a)

zał.: n∈N

teza: 3^{n}+3^{n+3}+2^{n+2}=4k ,gdzie k∈C

dowód:

3^{n}·7+2^{n}=k

(3^{n}·7+2^{n})∈C

b)

dla n=0:

Liczba 45 nie jest podzielna przez 10, więc nie można wykazać, że to prawda.

 

Zad.4

zał.: n∈N i n≥2

teza: 3^{n-2}+3^{n-1}+3^{n}+5^{n}+5^{n+2}=13k ,gdzie k∈C

dowód:

3^{n-2}+5^{n}·2=k

(3^{n-2}+5^{n}·2)∈C