Question

1. Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długość 5 pierwiastków z dwóch. Oblicz pod jakim kątem krawędź boczna jest nachylona do krawędzi podstawy.
2. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi jego podstawy równej 4 cm. Oblicz objętość ostrosłupa.

Answer 1

1)kraw,podstawy a=5√2
kraw,boczna b=a
przekatna podstawy d=a√2=5√2·√2=10 to 1/2d=5
 cosα=½d/b=5/5√2=1/√2=√2/2 to α=45°-->kat nachylenia krawedzie bocznej do plaszczyzny podstrawy

zas kat nachyleniam krawedzie bocznej do krawedzie podstawy wynosi 60°, poniewaz kazda ze scian bocznych jest trojkatem rownobocznym o boku rownym 5√2 , zatem suma katow  wewnetrznych w Δ wynosi 180°, czyli 180:3=60°

2)kraw,podstawy a=4
krawedz boczna b=2a =2·4=8
wysokosc podstawy h=a√3/2=4√3/2=2√3 to 2/3h=2/3·2√3=4√3/3
 z pitagorasa
(4√3/3)²+H²=b²
48/9+H²=4²
16/3+H²=16
5¹/₃+H²=16
H²=16-5¹/₃
H=√(10²/₃)=√(³²/₃)=4√2/√3=(4√2·√3)/3=4√6/3 cm
Pp=a²√3/4=4²√3/4=16√3/4=4√3 cm²
objetosc ostroslupa
V=1/3Pp·H=1/3·4√3· 4√6/3=(16√18)/9=(16√9·√2)/9=48√2/9=(16√2)/3 cm³