Question

1. W u.rnie zn.ajduje się m kul czarnych i 6 białych. Losu.jemy bez zwracania 2 kule. Prawdopod.obieństwo tego, że ob.ie są czar.ne równa się 0,5. Ile kul znajduje się w urnie?

2. Obliczyć pierwiastek równania 1+2+3+...+(x+1)= 3x+6.

x należy do liczb naturalnych

3. W partii 1000 żarówek jest 20 wadliwych. Kupujemy 5 żarówek tej partii. Jakie jest pra.wdopodobieństwo, że wszystkie kupione żarówki są wadliwe?

4. Wyznacz dziedzinę funkcji funkcji ).

Answer 1

z.2

1 + 2 + 3 + .. + (x +1)  - suma wyrazów ciągu arytmetycznego

dla a1 = 1  oraz r = 1

n = x +1   ---> n -1 = x

S =0,5* [ 2 a1 +(n -1)*r]*n

Po podstawieniu mamy

S = 0,5*[2*1 + x*1]*(x + 1) = 0,5*[2 +x]*[x +1]

mamy więc  równanie

0,5*[2 + x]*[x + 1] = 3x + 6

0,5*[2x + 2 + x^2 + x] = 3x + 6   / * 2

x^2 + 3x + 2 = 6x + 12

x^2 - 3x - 10 = 0

--------------------------

delta = 9 - 4*1*(-10) = 9 + 40 = 49

p(delty) = 7

x = [ 3 - 7]/2 = -4/2 = -2  <-- odpada , bo nie jest liczbą naturalną

x = [ 3 + 7]/2 = 10/2 = 5

Odp. x = 5

==============================

z.3

1000 - liczba żarówek

20 - liczba żarówek wadliwych

980  - liczba żaówek dobrych

N = (1000 nad 5) = [ 1000 !]/[5 ! * 995 ! ] =

= [ 996*997*998*999*1000]/[1*2*3*4*5] = 161*997*998*999*50

N = 50*161*997*998*999

======================

n(A) = (20 nad 5) = [ 20 ! ]/ [ 5 ! * 15 !] = [16*17*18*19*20]/[1*2*3*4*5] =

= 16*17*3*19

===============

P(A) = n(A)/ N = 15 504/ [50*1618997*998*999]

=================================================

z.4

x  różne od 0

cosx  różne od 0 --> x  różne od  pi/2 + k*pi, gdzie  k  - liczba całkowita

Odp. x  różne od 0  oraz  x różne od  pi/2 + k*pi

=======================================================

z.1

m  - ilość kul czarnych

6 - ilość kul białych

m + 6 - ilość wszystkich kul

--------------------------------

Ile jest wszystkich kul ?

 

N - ilość wszystkich podzbiorów 2 elementowych ze zbioru m + 6 elementów

N = (m +6  nad 2) =  = [(m + 6) ! ]/[2 *(m +4) !] =

= [ (m +5)*(m +6)]/2

n(A) = ( m nad 2)

P(A) = n(A) / N = 1/2

(m nad 2) / [ m+6 nad 2] = 1/2

[ m+6   nad 2] = 2*[ m nad 2]

[ (m +6) ! /[ 2*(m +4) !]   = 2* [ m ! / (2*(m - 2) !]

[ (m +5)*(m +6)]/2 = (m-1)*m   / * 2

(m+5)*(m + 6) = 2*(m -1)*m

m^2 + 11m + 30 = 2*m^2 - 2m

m^2 - 13 m - 30 = 0

-------------------------

delta = 169 -4*1*(-30) = 169 + 120 = 289

p(delty) = 17

m = [13 - 17]/2 = -2/2 = -1  <-- odpada , bo nie jest liczbą naturalną

m = [ 13 + 17]/2 = 30/2 = 15

Mamy 15 kul czarnych. W urnie jest 15 + 6 = 21 kul.

spr.

N = (21 nad 2) = [ 21 !]/[2 *19 !] = [20*21]/2 = 10*21 = 210

n(A) = ( 15 nad 2) = [ 15 !]/[2*13 ! ] = [14*15]/2 = 7*15 = 105

P(A) = 105/210 = 1/2

===================

Odp. W urnie jest 21 kul.

===========================================================