Question

1. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a krótsza przyprostokątna-6cm. Wyznacz długości odcinków, na jakie podzieliła dłuższą przyprostokątną symetralna przeciwprostokątnej.

Answer 1

Mamy trójkąt prostokątny, oznaczę klasycznie a,b - przyprostokątne, c - przeciwprostokątna:
c = 10 cm
a = 6 cm

Symetralna dzieli bok c na 2 równe części (po 5 cm), a bok b na 2 nierówne: oznaczę je jako x i y.

Mając dane a i c obliczam sinus kąta α (leżącego naprzeciwko boku a):
sin α = a / c = 6/10 = 3/5
Mając sin α mogę obliczyć cos α z jedynki trygonometrycznej:
sin² α + cos² α = 1
cos α = √(1 - sin² α)
cos α = √(1 - (3/5)²)
cos α = √(1 - 9/25) = √(16/25)
cos α = 4/5

Mając cos α mogę obliczyć długość boku b i odcinka y:
cos α = b/c
b = (cos α) ∙ c = 4/5 ∙ 10 = 8 cm
cos α = 5 / y
y = 5 / (cos α)
y = 5 / (4/5) = 5 ∙ 5/4 = 25/4 = (6 1/4) cm

x = b - y
x = 8 - (6 1/4) = (1 3/4) cm

Odp:
Symetralna przeciwprostokątnej podzieliła dłuższą przyprostokątną na odcinki długości (6 1/4) cm oraz (1 3/4) cm.