Question

1. Trójkąt o wierzchołkach: (0, 0), (-1, 3), (6, 2) jest trójkątem prostokątnym. Oblicz pole tego trójkąta.
2. Dany jest czworokąt o wierzchołkach: A = (3, 0), B = (5, 3), C = (2, 5), D = (0, 2)

a)Sprawdź, obliczając długość boków, czy ten czworokąt jest rombem.
b)Sprawdź, wykonując odpowiednie rachunki, czy trójkąt ACD jest trójkątem prostokątnym.
c)Jaką figurą jest czworokąt ABCD?
d)Oblicz pole tego czworokąta.

Answer 1

Zad.1]
A(0;0)
B(-1;3)
C(6;2)

AB=√(-1)²+(3)²=√10
BC=√(6+1)²+(2-3)²=√50=5√2
AC=√6²+2²=√40=2√10

POLEΔ=½×√10×2√10=√100=10j.²
zad.2]
A(3;0)
B(5;3)
C(2;5)
D(0;2)
a]
AB=√(5-3)²+(3²=√13
AC=√(2-3)²+(5²=√26
BC=√(2-5)²+(5-3)²=√13
DC=√(-2)²+(2-5)²=√13
AD=√((-3)²+2²=√13
DB=√5²+(2-3)²=√26
BOKI RÓWNE, PRZEKATNE RÓWNE, CZYLI JEST TO KWADRAT
B]
AC=√26
AD=√3²+(-2)²=√13
DC=√(2²+(5-2)²=√13

(√13)²+(√13)²=(√26)²
13+13=26
26=26
tak. jest to trójkąt prostokątny
c]TEN CZWOROKĄT TO KWADRAT O BOKU =√13
d]pole=a²=(√13)²=13j.²

Answer 2

Do obu zadań warto narysować układ współrzędnych i narysować te figury.
ZAD 1.
Niech X=(0,0), Y=(-1,3), Z=(6,2).
P=⅓*XZ*YX
gdzie XZ,YX to długości odcinków w układzie współrzędnych.
Obliczamy potrzebne odcinki:
XZ=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]
XZ=√[(0-6)²+(0-2)²]=√40=2√10
YX=√[(-1-0)²+(3-0)²]=√10
Podstawiając do wzoru na pole:
P=⅓*2√10*√10=⅔*10=²⁰/₃[j²]
ZAD 2.
A = (3, 0), B = (5, 3), C = (2, 5), D = (0, 2)
a)
Obliczamy odcinki AB,BC,CD,DA:
AB=√[(5-3)²+(3-0)²]=√[4+9]=√13
BC=√[(2-5)²+(5-3)²]=√[9+4]=√13
CD=√[(0-2)²+(2-5)²]=√[4+9]=√13
DA=√[(3-0)²+(0-2)²]=√[9+4]=√13
Wszystkie odcinki są równe więc czworokąt ten jest rombem.
b)
Oblicza długość odcinka AC(przeciwprostokątnej trójkąta)
AC=√[(2-3)²+(5-0)²]=√26
Sprawdzamy czy jest to trójkąt prostokątny z tw. Pitagorasa:
AC²=DA²+CD²
(√26)²=(√13)²+(√13)²
26=13+13
26=26
co jest prawdą, więc jest to trójkąt prostokątny.
c)
Z podpunktu a) wiemy ze figura ta jest rombem, natomiast z podpunktu b) ze kąty wewnętrzne są kątami prostymi, więc nasza figura jest kwadratem o boku √13.
d)
P=a²
P=(√13)²
P=13 [j²]