Question

1. Suatu bilangan asli n apabila dibagi 2015 akan memberikan sisa 1993.Tentukan sisa pembagian apabila n dibagi 31.
a. 6
b. 8
c.10
d.12
e.14

2. Diketahui suatu bilangan asli n apabila dibagi 15 memberikan sisa 3 dan apabila dibagi 10 memberikan sisa 8. Tentukan banyaknya bilangan asli n seperti ini dengan n ≤ 2015
a.63
b.64
c.65
d.66
e.67

Answer 1

Nomor 1 (Soal perlu dicek kembali).
Untuk n dibagi 2015 bersisa 1993
n ≡ 1993 mod 2015
n = 2015k + 1993, k = 0, 1, 2, 3, ...

Apabila n dibagi 31:
n ≡ (2015k + 1993) mod 31
n ≡ (2015k mod 31 + 1993 mod 31) mod 31
n ≡ ((2015 mod 31.k mod 31)mod 31 + 9) mod 31
n ≡ ((0. k mod 31) mod 31 + 9) mod 31
n ≡ (0 mod 31 + 9) mod 31
n ≡ 9 mod 31

Bersisa 9 [N/A]


Nomor 2.
Untuk n dibagi 15 bersisa 3
n ≡ 3 mod 15
n = 15k + 3, k = 1, 2, 3, ...

Apabila n dibagi 10 bersisa 8
n ≡ 8 mod 10
8 mod 10 ≡ (15k+3) mod 10
8 mod 10 ≡ 15k mod 10 + 3 mod 10
5 mod 10 ≡ 15k mod 10

Sementara, solusi berlaku untuk k ganjil:
k = 2m + 1, m ≥ 0

Sehingga:
n = 15k + 3
n = 15(2m+1) + 3
n = 30m + 18

Untuk n ≤ 2.015
30m + 18 ≤ 2.015
30m ≤ 1.993
m ≤ 1.993/30
m ≤ 66,43

Karena dibulatkan ke bawah, hasilnya adalah 66.
Untuk m = 0 juga tetap berlaku sehingga tetap dihitung.
Hasil akhir = 67 [E]

Answer 2

1. n mod 2015 = 1993
n mod 31 = ...?
mis : n = 1993
1993 mod 31 = 9
Jadi jawaban 1 adalah 9

2. n mod 15 = 3
n mod 10 = 8
cari bilangan pertama yang memenuhi persamaan di atas
Jadi bilangan pertama adalah angka 18 dan selanjutnya bilangan kedua yang mengikuti deret aritmatika
n yang memenuhi dapat ditulis sebagai (18,48,78,...,1998) dengan beda 30
dan Un=1998.

Un=a+(n-1)*b
1998=18+(n-1)*30
30n-30=1980
30n=2010
n=67
Jelas n yang memenuhi adalah sebanyak 67 bilangan (E)

Semoga Membantu