Question

1. Rozwiązaniem układu równań y=x+5
x²+y²=13
jest para liczb?
2.Liczba rozwiązań równania 2x(x²-1)(x²+4)=0 jest równa?
3.Rozwiązaniem równania x²+x=(x+1)²-7(x+2) jest liczba?
proszę o objaśnienia. dam naj:)

Answer 1

1.
y=x+5
x²+y²=13

y=x+5
x²+(x+5)²=13 ← Podstawiłam tutaj za y x+5, bo wynika to z pierwszego równania w tym układzie współrzędnych

y=x+5
x²+x²+10x+25=13 ← Zastosowałam tutaj wzór skróconego mnożenia, który wygląda następująco: (a+b)²=a²+2ab+b²

y=x+5
2x²+10x+25-13=0 ←Przeniosłam liczbę 13 z jednej strony równania na drugą ze zmianą znaku.

y=x+5
2x²+10x+12=0
I teraz tak: Zostawiam na razie w spokoju równanie y=x+5. Przyda się mi się ono później. Zajmuję się teraz drugim równaniem kwadratowym. Żeby wyliczyć x, muszę najpierw policzyć Δ, ze wzoru: Δ=b²-4ac
2x²+10x+12=0
Δ=10²-4*2*12=100-96=4
√Δ=2 ← to się zaraz przyda
Jeśli Δ>0, to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania (x₁ i x₂). I oba x będziemy musieli wziąć pod uwagę licząc na końcu y.

Żeby policzyć x₁ korzystam ze wzoru: x₁=-b-√Δ/2a
x₁=-10-2/2*2
x₁=-12/4
x₁=-3

Żeby policzyć x₂ korzystam ze wzoru: x₂=-b+√Δ/4a
x₂=-10+2/2*2
x₂=-8/4
x₂=-2

Wracamy teraz do równania y=x+5.
Najpierw podstawiamy do niego x₁=-3:
y=-3+5
y=2
A teraz podstawimy do niego x₂=-2
y=-2+5
y=3

Rozwiązaniem układu równań są dwie pary liczb:
1) x=-3, y=2
2) x=-2, y=3.

2.Liczba rozwiązań równania 2x(x²-1)(x²+4)=0 jest równa?

Wynik iloczynu równa się 0, jeśli choć jeden z jego czynników jest równy 0.
Stosujemy tę zasadę tutaj:
2x(x²-1)(x²+4)=0, jeśli:
2x=0 lub x²-1=0 lub x²+4=0
teraz rozwiązujemy osobno każde z równań:
2x=0 /÷2 (dzielimy obustronnie przez 2)
x=0
x²-1=0
x²=1 /√ (pierwiastkujemy obustronnie)
x=1 lub x=-1 (pierwiastkiem liczby dodatniej jest zarówno liczba dodatnia, jak i ujemna)
x²+4=0
x²=-4 (tutaj nie ma rozwiązania, gdyż nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych).

Więc mamy następujące rozwiązania: x=0, x=1, x=-1. Czyli rozwiązań jest 3.


3.Rozwiązaniem równania x²+x=(x+1)²-7(x+2) jest liczba?

x²+x=(x+1)²-7(x+2)
x²+x-(x+1)²+7(x+2)=0 ← Przeniosłam wyrażenia z prawej strony równania na lewą, ze zmianą znaków.
x²+x-(x²+2x+1)+7(x+2)=0 ← Zastosowałam tutaj taki sam wzór skróconego mnożenia, jak w zadaniu 1.
x²+x-x²-2x-1+7x+14=0 ←powyciągałam wszystko z nawiasów. Z pierwszego ze zmianą znaków (bo mnożyłam razy -1), a z drugiego mnożąc razy 7.
6x+13=0 ← dokonałam reducji wyrazów podobnych i, jak widzisz, skróciło nam się wyrażenie z x².
6x=-13
x=-13/6
x=-2⅙