Question

1) Przekątna sześcianu jest o 2 cm dłuższa od jego krawędzi. Oblicz pole
powierzchni całkowitej i miarę kąta nachylenia przekątnej sześcianu do
płaszczyzny podstawy.

2) Pole całkowite graniastosłupa
prawidłowego czworokątnego jest równe 90. Oblicz wymiary graniastosłupa,
jeżeli suma długości wszystkich krawędzi jest równa 48.

Answer 1

1)kraw,szecianu =a
przekatna szecianu =d
wzor na d=a√3 czyli 
d=a+2
a√3=a+2
a√3-a=2
a(√3-1)=2
a=2/(√3-1)=2(√3+1)/(3-1)=(2√3-2)/2=√3-1

Pc=6a²=6(√3-1)²=6(3-2√3+1)=6(4-2√3)=24-12√3=12(2-√3)  cm²
przekatan szecianu d=a√3=(√3-1)·√3=3-√3=3-1,73≈1,27
a=√3-1=1,73-1=0,73
sinα=a/d=0,73/1,27≈0,574 to α=35°

2)Pc=90
wszystkich krawedzi wynosi 48
kraw,podstawy=a
wysokosc =h
2·4a+4h=8a+4h=48
czyli 48=8a+4h   /:4
12=2a+h
h=12-2a

Pc=2Pp+Pb=2·a²+4ah=2a²+4ah
90=2a²+4ah   /:2
45=a²+2ah
45=a²+2a(12-2a)
45=a²+24a-4a²
a²+24a-45-4a²=0
-3a²+24a-45=0    /:3
-a²+8a-15=0
Δ=(8)²-4·(-1)·(-15)=4
√Δ=√4=2
a1=-8-2/-2=5
a2=-8+2/-2=3

sprawdzamy a= 5 to  h=12-2·5=2
48=8a+4h=8·5+4·2=40+8=48 zgadza sie

a=3  to h=12-2·3=6
48=8a+4h=8·3+4·6=24+24=48zgadza sie 

zatem wymiary granistoslupa moga wynosic :5,5,2  albo 3,3,6