Question

1. Prostokąt ABCD którego obwód wynosi 10cm jest podobny do prostokąta o bokach długosci 6cm i 8 cm. Oblicz pole prostokata ABCD.

2.Obwod trapezu rownoramiennego opisanego na okregu wynosi 120cm. Oblicz długość boków tego trapezu wiedząc że stosunek jego podstaw wynosi 2:3

Answer 1

Prostokąt ABCD jest podobny do prostokąta A'B'C'D'
obwód prostokąta ABCD: l = 10cm
IA'B'I= 6cm, IB'C'I= 8cm
obwód prostokąta A'B'C'D': l' = 2*6cm + 2*8cm= 12cm + 16cm= 28cm
skala k = l'/l= 28cm/10cm = 2,8
I sposób:
IA'B'I/IABI = IB'C'I/IBCI = k
IA'B'I/IABI = k
6cm/IABI = 2,8
IABI = 6cm: 2,8= 60cm:28 = 15cm:7 = 2¹/₇cm
IB'C'I/IBCI = k
8cm/IBCI = 2,8
IBCI = 8cm: 2,8 = 80cm: 28 = 20cm: 7 = 2⁶/₇cm
Pole prostokąta ABCD:
P = IABI*IBCI = 2¹/₇cm*2⁶/₇cm= ¹⁵/₇cm*²⁰/₇cm = ³⁰⁰/₄₉cm²
P = 6⁶/₄₉cm²
II sposób:
Pole prostokąta A'B'C'D':
P' = IA'B'I*IB'C'I = 6cm*8cm = 48cm²
k = 2,8
P'/P = k²
P = P'/k² = 48cm²/(2,8)² = 48cm²:(¹⁴/₅)² = 48cm²*(⁵/₁₄)² =
48cm²*²⁵/₁₉₆ = ³⁰⁰/₄₉cm²
P = 6⁶/₄₉cm²
Odp. Pole prostokąta ABCD jest równe 6⁶/₄₉cm².

Zad. 2
l= 120cm
1) a+b+2r = 120cm, a to podstawa dolna, b to podstawa górna,
r to ramię trapezu równoramiennego
b:a=2:3, stąd a = ³/₂b
b+ ³/₂b + 2r = 120
2½b +2r = 120
2) okrąg jest wpisany w trapez równoramienny, więc jego
promienie są prostopadłe do boków w punktach styczności,
można zauważyć, że ramię trapezu r = ½a +½b = ½*³/₂b +½b=
¾b + ½b = ⁵/₄b
Z 1) i 2) obliczamy podstawę górną b:
2½b +2r = 120
2½b +2*⁵/₄b = 120
2½b + ¹⁰/₄b = 120
5b = 120
b = 120:5 = 24
b = 24cm
teraz obliczamy podstawę dolną a:
a = ³/₂b = ³/₂*24 = 36
a = 36cm
obliczamy ramię r:
r = ½a +½b = r = ½*36 +½*24 = 18+ 12 =30
Odp. Długości boków tego trapezu: 36cm, 24cm, 30cm, 30cm.