Question

1. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 5cm i 12cm. Długość krawędzi bocznej ostrosłupa jest równa przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
2. Przekątna podstawy sześcianu ma długość 5 pierwiastków z 2cm. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu i pole jednego powierzchni całkowitej.
3. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 8cm, a krawędź boczna 5cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
4. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 72cm kwadratowe, a jego objętość 108cm sześciennych. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa i długość przekątnej jego podstawy.

Pilne..!!!!!!!!

Answer 1

1. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach długości 5cm i 12cm. Długość krawędzi bocznej ostrosłupa jest równa przekątnej podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Aby obliczyć objętość potrzebujemy wysokości. Możemy ją obliczyć z tw. Pitagorasa. Wysokość ostrosłupa, krawędź boczna ostrosłupa i połowa przekątnej podstawy ostrosłupa tworzą razem trójkąt prostokątny i z niego możemy wyliczyć wysokość, ale potrzebujemy przekątnej podstawy, którą też wyliczamy z tw. Pitagorasa, boki prostokąta to przyprostokątne, a przeciwprostokątna to przekątna prostokąta.

Przekątna podstawy:
5² + 12² = x²
25 + 144 = x²
169 = x²
x = √169 = 13
Wysokość
H² + (½x)² = x²
H² + (½*13)² = 13²
H² + 6,5² = 169
H² + 42,25 = 169 | - 42,25
H² = 126,75
H = √126,75

V = ⅓ * 5 * 12 * √126,75 = 20√126,75 cm³

2. Przekątna podstawy sześcianu ma długość 5 pierwiastków z 2cm. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu i pole jednego powierzchni całkowitej.

Przekątna kwadratu to a√2, gdzie a to bok. A więc bok ma 5cm.
a√2 = 5√2cm |:√2
a = 5cm
Z kolei przekątna sześcianu to a√3, więc ma ona 5√3cm.
Pc = 6a² = 6 * 5² = 6 * 25 = 150cm²

3. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 8cm, a krawędź boczna 5cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Pc = Pp + 3*Ptrójkąta = a²√3/4 + 3*½*a*h

Znów tw. Pitagorasa. wysokość ściany bocznej i połowa podstawy to przyprostokątne a przeciwprostokątną jest krawędź boczna.
h² + (½a)² = b²
h² + (½*8)² = 5²
h² + 4² = 5²
h² + 16 = 25
h² = 9
h = √9 = 3

Pc = a²√3/4 + 3*½*a*h = 8²√3/4 + 3*½*8*9 = 64√3/4 + 3*4*9 = (16√3 + 108)cm²
Można też wyciągnąć czynnik przed nawias: (16√3 + 108)cm² = 4(4√3 + 27)cm³

4. Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 72cm kwadratowe, a jego objętość 108cm sześciennych. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa i długość przekątnej jego podstawy.

V = PpH = a²H = 108cm³
Pb = 4aH = 72cm²
4aH = 72cm²|:4
aH = 18cm²
a²H/aH = 108cm³/18cm²
a = 6cm
H = 18cm² : 6cm = 3cm

Przekątną graniastosłupa obliczymy oczywiście z tw. Pitagorasa.
Przekątna podstawy do kwadratu + krawędź boczna do kwadratu (ma tą samą długość co wysokość) równa się przekątnej graniastosłupa do kwadratu

Przekątna podstawy to nic innego jak przekątna kwadratu więc ma ona a√2, czyli 6√2cm
Przekątna graniastosłupa:
(6√2)² + 3² = d²
72 + 9 = d²
81 = d²
d = √81 = 9

Answer 2

1. z tw. Pitagorasa obliczamy przekątną
5²+12²=d²
25+144=d²
d²=169
d=13
Krawędź boczna i przekątna podstawy mają po 13 cm.
Wysokość tego ostrosłupa obliczymy także z tw. Pitagorasa.
Bierzemy połowę przekątnej podstawy.
(6,5)²+h²=13²
42,25+h²=169
h²=126,75
h=√126,75

pp=5*12
pp=60cm²

v=1/3 pp*h
v=1/3 60cm²*√126,75cm
v=20√126,75cm³

2.
podstawą jest kwadrat.
Przekątną kwadratu obliczamy ze wzoru 2a²=a√2
jeśli przekątna ma 5√2 cm to bok wynosi 5cm
przekątną sześcianu obliczymy dodając kwadraty liczb określających bok i przekątną podstawy
(5√2)²+5²=d²
50+25=d
75=d²
d=√25*3
d=5√3cm

pc= 6*pb
pb=5*5
pb=25cm²
pc=6*25cm²
pc=150cm²

3.
pp=a²√3/4
pp=8²√3/4
pp=64√3/4
pp=16√3cm²

pb=8cm*5cm
pb=40cm²

pc=2*pp+3*pb
pc=32√3cm²+120cm²