Question

1. Podaj i objaśnij wzory na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
2. Podaj i objaśnij wzór na sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego .
3. Podaj znane ci twierdzenia o granicy ciągu.


prosze o odp na 3 pytania, dam naj spam zglaszam

Answer 1

Tzn tak. są dwa wzory . gdy q=0
wzór to Sn=a₁×n
i gdy q≠1 wzór to Sn=a₁×(1-q(po potęgi n)÷1-q)

Tw.1.
Ciąg zbieżny ma tylko jedną granicę.


Tw.2.
Granicą ciągu stałego ( c ) jest liczba c.


Tw.3.
Jeżeli i , to:




Tw.4.
Jeżeli i i b ¹ 0 i bn ¹ 0 dla n =1, 2, 3, ..., to:

Tw.5.
Jeżeli i c jest liczbą rzeczywistą, to .

Tw.6.
Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Uwaga: Nie każdy ciąg ograniczony jest zbieżny, np. an= (-1)n .


Tw.7.
Jeżeli ciąg jest ograniczony i monotoniczny, to jest ciągiem zbieżnym.


Tw.8 ( o trzech ciągach).
Jeżeli dane są trzy ciągi ( an ), ( bn ), ( cn ) i oraz , to .
( J Czyli: jeżeli zatrzymany jest prowadzony między dwoma policjantami i pierwszy policjant idzie na komisariat oraz drugi policjant idzie na ten sam komisariat, to zatrzymany też idzie na ten sam komisariat J ).

Dowód tw. 8:

Niech e > 0 będzie dowolne.
Z założenia wynika, że:
g - e < an < g + e
g - e < cn < g + e .
Niech M = max( A, B). Dla n > M spełnione są więc oba powyższe warunki. Stąd i z założenia mamy:
g - e < an £ bn £ cn < g + e ,
czyli g - e < bn < g + e (czyli - e < bn – g < e),
czyli ( z def. granicy) : , c.n.d.
Tw.9.
Jeżeli < 1, to ciąg geometryczny (an) o ilorazie q jest zbieżny do zera ().
Lemat 1.
Dla dowolnej liczby naturalnej n ³ 1 prawdziwa jest nierówność (nierówność Bernoulliego):

( 1 + x )n ³ 1+ nx,

gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą większą od –1.

Dowód lematu ( metodą indukcji matematycznej):
1. Jeżeli n=1, to: L= 1+x, P= 1+x, czyli L=P.
2. Dla n³1 należy udowodnić tw.:
Założenie. ( 1 + x )n ³ 1+ nx .
Teza. ( 1 + x )n+1 ³ 1+ (n+1)x .
Dowód.
( 1 + x )n+1 = ( 1 + x )n ( 1 + x ) .
Z zał. mamy: ( 1 + x )n ³ 1+ nx / (x+1), x+1>0,
bo x>-1
czyli
( 1 + x )n ( 1 + x ) ³ (1+ nx ) ( 1 + x ).

(1+ nx ) ( 1 + x )= 1+x+nx+nx2 = 1+(n+1)x + nx2 ,

nx2 ³ 0, bo n ³ 1,
więc 1+(n+1)x + nx2 ³ 1+(n+1)x,
czyli
( 1 + x )n ( 1 + x ) ³ (1+ nx ) ( 1 + x ) ³1+(n+1)x,
czyli
( 1 + x )n ( 1 + x ) ³ 1+(n+1)x, czyli
( 1 + x )n+1 ³ 1+ (n+1)x, c.n.d.
Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność jest spełniona dla dowolnej liczby naturalnej n ³ 1.

Dowód tw.9.
Jeżeli q=0, to teza jest oczywista.
Załóżmy, że Wówczas , bo z zał. < 1
Niech t = , wtedy , a stąd i z lematu (t >0): , więc , więc .
Oczywistym jest, że , więc , c.n.d.


Tw.10.
Jeżeli dany jest ciąg ( an ) taki, że to
Tw.11.
Jeżeli dany jest ciąg ( an ) taki, że to