Question

1. określ monotoniczność funkcji f(x)= 2(x+1)^2-8 krok po kroku, bez zadnych skrotow, jestem matematycznym tępakiem ;)

Answer 1

f(x)=2(x+1)^2-8    w nawiasie mamy wzor skroconego mnozenia

f(x)=2 (x^2 +2x+1) - 8   - wymnażamy przez 2 każdy wyraz z nawiasu

f(x)=2x^2 +4x + 2 - 8

f(x)=2x^2 + 4x - 6        wsystkie wyrazy są podzielne przez 2 więc możemy to uprościć

f(x)=x^2 + 2x - 3

Mamy wzór

wiemy że ramiona paraboli będą prowadzone w górę, ponieważ współczynnik kierunkowy a, czyli to co stoi przy x^2 jest większy od 0 ( w tym wypadku to 1)

Monotoniczność określamy na osi X, a parabola do pewnego momentu maleje i od tego samego momentu rośnie. Tak więc jaki to moment? Jest to wierzchołek paraboli.

Wierzchołek paraboli jest określany (p,q) które można odczytać z postaci kanonicznej lub wyliczyc z postaci ktora otrzymalismy.

Będziemy potrzebowac jedynie p, ponieważ to ono odnosi się do osi X, a q znajduje się na osi Y więc nie jest nam potzrebne do określenia monotoniczności.

p=-b/2a

p=-2/2

p=-1

 

Musimy sobie wyobrazic rysunek.  Ramiona idą  w górę, więc najpierw parabola maleje, czyli - maleje do P

F malejąca (-nieskonczonosci ;-1>

A rośnie od P

F rosnąca <-1, nieskonczonosci)

Answer 2

Aby określić monotoniczność przydatny jest wykres. Jest to funkcja kwadratowa, więc musimy obliczyć współrzędne wierzchołka(potrzebna jest w tym przypadku tylko współrzędna x) paraboli(wykres funkcji kwadratowej). Także współczynnik przy jest przydatny ponieważ informuje jak zwrócone są ramiona paraboli, więc przekształcamy wzór funkcji do postaci ogólnej:

 

 

W tym przypadku współczynnik przy jest większy od zera, więc ramiona paraboli są skierowane do góry. Obliczamy p, czyli współrzędną "x" wierzchołka:

 

 

Gdy a>0, funkcja jest malejąca w przedziale: , a rosnąca w przedziale: , więc odpowiedź:

 

Funkcja jest malejąca w przedziale: . Funkcja jest rosnąca w przedziale: