Question

1. Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu an = -n² + 3n - 1

2. Oblicz, które wyrazy ciągu an = -(n-3)(2n-11) są dodatnie.

3. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego an, w którym: a₇ = 12 i a₃ = -2,
a następnie oblicz sumę stu początkowych wyrazów tego ciągu.

4. Dla jakich naturalnych wartości p liczby: p-1, 2p, 5p+3 tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny?

Answer 1

1.

 

a1 = -1^2 + 3 * 1 - 1

a1 = 1

 

a2 = -2^2 + 3 * 2 - 1

a2 = -4 + 6 - 1

a2 = 1

 

a3 = -3^2 + 3 * 3 - 1

a3 = -9 + 9 - 1

a3 = -1

 

a4 = -4^2 + 3 * 4 - 1

a4 = -16 + 12 - 1

a4 = -5

 

a5 = -5^2 + 3 * 5 - 1

a5 = -25 + 15 - 1

a5 = -11

 

2.

-(n-3)(2n-11) > 0

(3-n)(2n-11) > 0

3-n < 0    i    2n-11 < 0

-n < -3     i    2n < 11

n > 3        i    n < 5,5

 

Aby to dobrze zrozumieć to należy narysować wykres tego ciągu.

-(n-3)(2n-11) = (-n+3)(2n-11) = -2n^2+11n+6n-33 = -2n^2+17n-33

Tak, więc:

a=-2

Skoro a < 0 to ramiona idą w dół

Teraz miejsca zerowe:

3-n = 0    i     2n-11 = 0

-n = -3     i     2n = 11 

n = 3       i      n = 5,5

 

Tak więc z tego można wywnioskować, że ciąg ten przyjmuje wartości dodatnie dla n > 3 i n < 5,5

 

3.

r = (a7-a3)/(7-3)

r = (12+2)/4

r = 3,5

 

a3 = a1 + (n-1) * r

-2 = a1 + (3-1) * 3,5

-2 = a1 + 2*3,5

a1 = -9

 

S100 = (a1+a100)/2 * n

S100 = [2a1 + (n-1)*r]/2 * n

S100 = [2 * (-9) + 99*3,5]/2 * 100

S100 = (-18 + 346,5)/2 * 100

S100 = 328,5/2 * 100

S100 = 16425

 

4.

q = 2p/(p-1)

q = (5p+3)/2p

 

q=q

2p/(p-1) = (5p+3)/2p   \ * 2p

4p^2/(p-1) = 5p+3     \ * (p-1)

4p^2 = (5p+3)(p-1)

4p^2 = 5p^2 - 5p + 3p - 3

4p^2 - 5p^2 + 5p - 3p + 3 = 0

-p^2 +2p + 3 = 0

 

Δ = 2^2 - 4 * (-1) * 3

Δ = 4 + 12

Δ = 16

√Δ = 4

 

p1 = (-2 + 4)/(-2) = -1  -- Sprzeczne, bo w tym przypadku p nie jest liczbą naturalną

p2 = (-2 - 4)/(-2) = 3

 

p = 3

 

Answer 2

an=-n^2+3n-1

 

1.

 

a1 = -1^2+3*1-1

a1 = -1+3-1= 1

 

a2 = -2^2 + 3 * 2 - 1

a2 = -4 + 6 - 1=1

 

a3 = -3^2 + 3 * 3 - 1

a3 = -9 + 9 - 1=-1

 

a4 = -4^2 + 3 * 4 - 1

a4 = -16 + 12 - 1=-5

 

a5 = -5^2 + 3 * 5 - 1

a5 = -25 + 15 - 1=-11