1. Oblicz dlugosci bokow dwoch kwadratow, wiedzac zed sa one liczbami naturalnymi oraz ze roznica pol tych kwadratow jest rowna 7.
2.dane sa dlugosci d1 i d2 przekatnych czworokata wypuklego oraz miara kata miedzy tymi przekatnymi. Oblicz pole cxzworokata wiedzac ze d1=12, d2= 5√2 , a= 135`
3. Obrazem figury F w podobienstwie w skali 0,2 jest figura F1. wiedzac, ze pole figury F1 jest o 72cm2 mniejsze od pola figury Fm oblicz pola figur F1 i F.
4.w trapezie dlugosci podstaw wynosza 5cm i 8cm a dlugosci ramion 3m i 4cm. ramiona trapezu przedluzono do przeciecia w punkcie P. oblicz obwod trojkata, ktorego jednym z wierzcholkow jest punkt P, a dwa pozostale sa koncami dluzszej podstawy trapezu.
5. oblicz dlugosc cieciwy okregu o promieniu 6,5cm ktora lezy w odleglosci 2,5cm od srodka tego okregu.
6.przekatna szescianu ma dlugosc 12. oblicz pole powierzchni calkowitej tego szescianu
7. podstawa ostroslupa prawidlowego czworokatnego ABCDS jest kwadrat ABCD. pole trojkata rownoramiennego ACS jest rowne 240 oraz AC:AS=10:13. oblicz pole powierzchni bocznej tego ostroslupa.
zad.1
Dane :
a, b- liczby naturalne, boki kwadratów
a² - b² = 7
(a-b) (a+b) = 7
a, b- liczby naturalne, więc (a+b) i (a-b) to liczby naturalne. oraz a+b > a-b
Czyli:
(a+b)(a-b) = 7*1
a+b= 7
(a-b) = 1
a= 1+b
1+b+b = 7
a= 1+b
2b = 7-1
a=1+b
2b = 6
b= 3
a= 1 + 3
a=4
b= 3
odp. Liczbami tymi są 3 i 4.
zad. 2
dane :
d₁ = 12
d₂ = 5√2
P=1/2*12*5√2*sin135
sin135=sin(90+45)=cos45 =√2/2
P=1/2*12*5√2*√2/2
P= 30
Odp. Pole tej figury wynosi 30
zad.3
Dane :
Jeżeli figura jest podobna do drugiej w skali k to ich pla są podobne w skali k²
k=0,2
P₁- pole I figury
P₂- pole drugiej figury
P₂ = P₁ - 72 cm²
Ze skali podobieństw mamy:
P₂/ P₁ = k²
P₂= k²* P₁
P₁ - 72 = (0,2)² * P₁
P₁- 72 = 0,04 *P₁
P₁- 0,04*P₁= 72
0,96 * P₁= 72 /:0,96
P₁= 75 cm²
P₂= P₁- 72
P₂= 75 - 72 = 3 cm²
Odp. Pole figury F wynosi 3 cm² a pole F₁ wynosi 75cm²
zad. 4
dane :
krótsza podstawa : b = 5 cm
dłuższa podstawa a = 12 cm
ramię (lewe) c = 3 cm
ramię (praweI) d = 4 cm
szukamy :
odcinek od lewego ramienia do P = x
odcinek od prawego ramienia do P = y
z tw. Talesa mamy
(x+c)a = x/b
(y+d)/a= y/b
(x+3)/8=x/5
5*(x+3)=8x
5x+15=8x
5x-8x=-15
-3x=-15
x= 5
długość ramienia (lewego ) po przedłużeniu : x+c= 3+5=8 cm
(y+4)/8=y/5
5*(y+4)=8y
5y+20=8y
5y-8y=-20
-3y=-20
y=20/3=6 i 2/3 cm
długość ramienia (prawego) po przedłużeniu : y+d= 3+5=6 i 2/3 +4 = 10 i 2/3 cm
Obwód = 5 + 12 + 8 + 10 i 2/3 = 35 i 2/3 cm
odp. obwód trapezu po przedłużeniu ramion wynosi 35 i 2/3 cm
zad. 5
Dane :
r = 6,5 cm
cięciwa : 2 x
(2x/2)²+2,5²=6,5²
x²+6,25=42,25
x² = 42,25 – 6,25
x²=36
x= 6 cm
cięciwa = 2x = 2*6 = 12cm
odp cięciwa równa się 12 cm
zad. 6
d= 12
wzór na przekątną sześcianu
d= a√3
12 = a√3 / :√3
a= 12/√3 = 12/√3 *√3/√3 = 12√3/3 = 4√3
pole :
Pc= 6 a²
Pc= 6 * (4√3)² = 288
odp. Pole sześcianu wynosi 288
zad. 7
Dane :
pole ACS = 120
podstawa AC : a
wysokość : h
bok ; AS=CS = b
P= ½ a *h
120 = ½ a*h
60 = a*h
z proporcji mamy
a/b = 10/13
13a = 10b
b = 1,3 a
obliczamy wysokość z tw . Pitagorasa
b² = (a/2)² +h²
h² = b² -(a/2)²
h² = (1,3a)² - (a/2)²
h² = 1,69 a²- a²/4 = 169/100 a² - 25a²/100 =144/100* a²
h = √144/100*a²
h = a * 12/10 = 1,2 a
120 = ½ a*h
120 = ½ a* 1,2 a
120 = 0,6 a² /:0,6
a² = 200
a = √200 = √100*2 = 10√2
b= 1,3 *a
b= 1,3 * 10√2 = 13√2
podstawa to kwadrat :
To AC jest przekątną kwadratu :
bok kwadratu : e
d= e√2
10√2 = e√2 /:√2
e = 10
obliczamy wysokość ściany bocznej : hśb
b² = (e/2)² + hśb²
hśb² = b² - (e/2)²
hśb² = (13√2)² - 5² = 338 – 25 = 313
hśb = √313
Pb = 4 (1/2 e*hśb) = 2* 10 *√313 = 20√313
Odp. Pole powierzchni tego ostrosłupa wynosi 20√313