Question

1. Niech a będzie długością boku trójkąta równobocznego, h-jego wysokością, P-polem, a r- promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Oblicz pozostałe trzy wielkości.

a) a=12cm

b) h=3√3cm

c) r=2cm

d) P=4√3cm²

2. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej równej 2cm.

Answer 1

a) a=12cm

zatem wysokosc h=(a√3)/2=(12√3)/2=6√3cm

promieien okregu wpisanego w Δ r=⅓h=⅓·6√3=2√3cm

PΔ=(a√3)/4=(12²√3)/4=(144√3)/4=36√3cm²

 

b)h=3√3cm

a√3/2=3√3

a√3=2·3√3

a√3=6√3  /:√3

a=6cm

r=⅓h=⅓·3√3=√3cm

PΔ=(6²√3)/4=(36√3)/4=9√3cm²

 

c)r=2

⅓·h=2

⅓·(a√3)/2=2

a√3/6=2

a√3=12

a=12/√3(12√3)/3=4√3cm

h=a√3/2=(4√3 ·√3)/2=12/2=6cm

PΔ=[(4√3)²·√3]/4 =(48√3)/4=12√3cm²

 

d)PΔ=4√3cm²

a²√3/4=4√3

a²√3=4·4√3

a²√3=16√3  /:√3

a²=16

a=√16=4cm

h=(a√3)/2=(4√3)/2=2√3cm

r=⅓h=⅓·2√3 =(2√3)/3 cm

 

zad2

przyprostokatna a=2cm

to dl,przeciwprostokatnej a√2=2√2cm

jezeli ze srodka okgegu wpisanego poprawadzimy odcinki do wszystkich wierzcholkow 

tego Δ , to podzielimy go na 3 mniejsze Δ, gdzie w kazdym tym mniejszym jego wysokosc to szukany promien okregu ,zatem

PΔ=½·a·a=½·2·2=2cm²

porownujemy pole duzego Δ do sumy pol 3 mniejszych Δ 

PΔ=P1+P2+P3

2=½·2·r+ ½·2·r+ ½·2√2·r

2=r+r+√2r

2=2r+√2r

2=r(2+√2)

r=2/(2+√2)

r=2(2-√2) /(2+√2)(2-√2) =(4-2√2 )/(4-2) =(4-2√2)/2 =2(2-√2)/2 =2-√2

r=2-√2cm