Question

1. Narysuj wykres funkcji kwadratowej i znajdź jej miejsca zerowe.

a) y=x2 + 2x -3

b) y= -x2 + 2x -1

2. Rozwiąż równanie:

a) y= x2 +4x +2

b) y= x2 + 6x + 9

c) y= 4x2 -10x + 15

3. Rozwiąż nierówność:

a) -x2 + x + 2 > 0

b) x2 -4x +4 _< 0

c) -2x2 + 2x -2 < 0

Answer 1

Ad.1

a) wyznaczasz miejsca zerowe, obliczając najpierw deltę:

a=1, b=2, c=-3 

Δ=b^2-4ac

Δ=2^2-4*1*(-3)

Δ=4-(-12)

Δ=16

\sqrt( Δ )=4 

x1=(-b-\sqrt{ Δ })/2a

x1=(-2-4)/2*1

x1 = -6/2

x1=3

 

x2=(-b+\sqrt{ Δ })/2a

x2=(-2+4)/2*1

x2 = 2/2

x2=1

 

Teraz obliczasz wierzchołek paraboli:

W(p,q)

p=(-b)/2a

p=-2/2*1

p=2/2

p=-1

q=(-Δ)/4a

q=-16/4*1

q=-16/4

q=-4

W(-1,-4)

Możesz wyznaczyc punkt przecięcia z osią OY. Jest to punkt o współrzędnych (0,c):

(0,-3).  Ramiona paraboli będą skierowane w górę, ponieważ współcznnik a jest ujemny (a=1). 

Wykres zatem będzie wyglądał tak, jak w załączniku.

 

b) wyznaczasz miejsca zerowe, obliczając najpierw deltę:

a=-1, b=2, c=-1

Δ=b^2-4ac

Δ=2^2-4*(-1)*(-1)

Δ=4-4

Δ=0

x0=(-b-)/2a

x0=(-2)/2*(-1)

x0 = -2/-2

x0=1

 

Teraz obliczasz wierzchołek paraboli:

W(p,q)

p=(-b)/2a

p=-2/2*(-1)

p=-2/-2

p=1

q=(-Δ)/4a

q=-0/4*1

q=-0/4

q=0

W(1,0)

Możesz wyznaczyc punkt przecięcia z osią OY. Jest to punkt o współrzędnych (0,c):

(0,-1). Ramiona paraboli będą skierowane w dół, ponieważ współcznnik a jest ujemny (a=-1).

Wykres zatem będzie wyglądał tak, jak w załączniku.

 

Ad.2.

W zadaniu drugim są błędy, ponieważ równanie musi mieć po jednej stronie albo jakieś wyrażenie, albo liczbę, a nie wartość y.

 Przyjmując:

a) x2 +4x +2 = 0

wystarczy tutaj tylko wyznaczyć deltę i pierwiastki jak w zadaniu 1.

a=1, b=4, c=2 

Δ=b^2-4ac

Δ=4^2-4*1*2

Δ=16-8

Δ=8

√(Δ)= √(8) 

Δ=2 √(2)

\sqrt( Δ )=4 

x1=(-b-\sqrt{ Δ })/2a

x1=(-4- 2 √(2))/2*1 [w liczniku wyciągamy 2 przed nawias]

x1 = 2(-2-√(2))/2 [dwójki się skrócą]

x1=-2-√(2) 

 

x2=(-b+\sqrt{ Δ })/2a

x1=(-4+2 √(2))/2*1 [w liczniku wyciągamy 2 przed nawias]

x1 = 2(-2+√(2))/2 [dwójki się skrócą]

 x1=-2+√(2) 

 Rozwiązaniem równania są dwie liczby, czyli x є { -2-√(2);  -2+√(2)}

 

b) x2 + 6x + 9 = 0

a=1, b=6, c=9 

Δ=b^2-4ac

Δ=6^2-4*1*9

Δ=36-36

Δ=0

x0=(-b-)/2a

x0=(-6)/2*1

x0 = -6/2

x0=-3

Rozwiązaniem tej nierówności jest jedna liczba, czyli x=-3. 

 

c) 4x2 -10x + 15 = 0 

a=4, b=-10, c=15 

Δ=b^2-4ac

Δ=(-10)^2-4*4*15

Δ=100-120

Δ=-20

Skoro delta wyszła nam ujemna, zatem równanie nie ma pierwiastków.

Równanie nie ma zatem rozwiązań. 

 

a) -x2 + x + 2 > 0

Podobnie jak wyżej obliczamy deltę i perwiastki:

a=-1, b=1, c=2 

Δ=b^2-4ac

Δ=1^2-4*(-1)*2

Δ=1+8

Δ=9

\sqrt(Δ)= \sqrt(9)

 \sqrt(Δ)=3  

x1=(-b-\sqrt{ Δ })/2a

x1=(-1-3)/2*(-1)

x1 = -4/-2

x1=2

 

x2=(-b+\sqrt{ Δ })/2a

x2=(-1+3)/2*(-1)

x2 = 2/-2

x2=-1

Rysujemy oś i pomocniczy wykres paraboli jak w załącziku 3a.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie:

 x є { -1;2).

b) x2 -4x +4 < 0

a=1, b=-4, c=4 

Δ=b^2-4ac

Δ=(-4)^2-4*1*4

Δ=16+16

Δ=0

\sqrt(Δ)= \sqrt(0)

 \sqrt(Δ)=0  

x0=(-b)/2a

x0=-(-4)/2*(1)

x0 = 4/2

x0=2

Rysujemy oś i pomocniczy wykres paraboli jak w załącziku 3b.

Widzimy, że poniżej osi liczbopwej nie ma wykresu, zatem nie ma żadnych rozwiązań. 

Rozwiązanie: x є  Φ [zbiór pusty]

c) -2x2 + 2x -2 < 0 

a=-2, b=2, c=-2 

Δ=b^2-4ac

Δ=2^2-4*(-2)*(-2)

Δ=4-16

Δ=-12

Skoro delta jest ujemna nasza funkcja nie ma pierwiastków, miejsc zerowych, ale to nie oznacza, że nie będzie miała rozwiązania. 

Rysujemy oś i pomocniczy wykres paraboli jak w załącziku 3c.

Widzimy, że poniżej osi liczbopwej znajduje się wykres i musimy wziąć liczby mniejsze od zera, czyli poniżej osi, zatem mamy rozwiązanie.

Rozwiązanie: x є R [zbiór liczb rzeczywistych]