1. Na ile sposobów można:a) utworzyć parzystych liczb pięcio cyfrowych?b) wybrać zestaw obiadowy jeś.... Question from @Gadziowa

irenas

Wszystkich liczb pięciocyfrowych jest

$9\cdot10^4=90000$

Co druga jest parzysta, więc mamy takich liczb 45000

$3\cdot5\cdot4=60$

Wszystkich wyników jest $6^2=36$

Jeżeli za pierwszym razem wyrzucimy:

- 1 oczko, to za drugim jest 6 możliwości

- 2 oczka, to za drugim razem są 4 możliwości (od 1 do 4)

- 3 oczka, to za drugim razem są 3 możliwości (od 1 do 3)

- 4 oczka, to za drugim mamy 2 możliwości (1 lub 2)

- 5 lub 6 oczek, to za drugim razem mamy jedną możliwość (tylko 1 oczko)

Razem zdarzeń sprzyjających jest:

$6+4+3+2+2\cdot1=17\\P(A)=\frac{17}{36}$

Wyrzucenie orła oraz wyrzucenie reszki jest jednakowo prawdopodobne. Prawdopodobieństwo każdego z tych zdarzeń jest równe $\frac{1}{2}$ .

Prawdopodobieństwo wybrania czarnej kuli z pierwszej urny jest równe $\frac{6}{11}$ , a z drugiej $\frac{2}{5}$

Prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli jest więc równe

$P(A)=\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{11}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3}{11}+\frac{1}{5}=\frac{15+11}{55}=\frac{26}{55}$

1 votes Thanks 0

Fshrek

Zad. 1 a)

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, jako pierwszą liczbę możemy ustawić więc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. Na końcu liczby musi być cyfra 0, 2, 4, 6, 8 aby liczba była parzysta. Nasza liczba ma np. taką postać:

1xxx0

3 cyfry w "środku" mogą się powtarzać i wybieramy je spośród 10 możliwych cyfr, skorzystamy z wariacji z powtórzeniami do znalezienia wszystkich możliwych trójek:

$V_{n}^k = n^k$

gdzie:

n - liczebność zbioru z którego wybieramy

k - liczebność wybranej grupy

W naszym wypadku:

$V_{10}^3 = 10^3 = 1000$

Zatem dla podanego przykładu mamy tysiąc możliwości wyboru 3 spośród 10 cyfr, jeżeli uwzględnimy wszystkie możliwe cyfry na końcu naszej liczby (0, 2, 4, 6, 8) - 5 możliwości, daje nam to:

5 * 1000 = 5000 możliwości dla liczby z 1 na początku.

Ponieważ na pierwszym miejscu może stać jedna z 9 możliwych cyfr (odrzucamy 0), otrzymujemy:

9 * 5000 = 45000 sposobów

Zad. 1 b)

Zaczynamy od wyboru zupy, możemy ją wybrać na 3 sposoby (z1, z2 lub z3), do każdej zupy możemy wybrać danie główne na jeden spośród 5 sposobów, a na końcu wybieramy jeden z deserów na 4 możliwe sposoby. Przykładowo:

z1, dg1, d1

z1, dg1, d2

z1, dg1, d3

z1, dg1, d4

z1, dg2, d1 itd.

Możemy więc zapisać że do każdego dania głównego dobieramy 4 desery, mamy więc 5*4 = 20 możliwości wybrania dań głównych i deserów. każdy taki zestaw możemy dobrać do jednej z trzech zup, ostatecznie:

3(zupy) * 5(dań głównych) * 4(desery) = 3 * 20 = 60 sposobów na wybranie zestawu obiadowego.

Zad. 1 c)

Aby znaleźć taką delegację posłużymy się kombinacją:

$C_{n}^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

n - liczebność zbioru z którego wybieramy

k - liczebność wybranej grupy

W naszym wypadku:

$C_{20}^5 = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! * 15!}$

rozkładamy 20! w liczniku i 5! mianowniku

$C_{20}^5 = \frac{15! * 16 * 17 * 18 * 19 * 20}{1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 15!}$

Skracamy i rozwiązujemy

$C_{20}^5 = \frac{16 * 17 * 18 * 19 * 20}{1 * 2 * 3 * 4 * 5} = \frac{4 * 17 * 6 * 19 * 4}{1 * 2}=4 * 17 * 6 * 19 * 2 = 15504$

Delegację można wybrać na 15504 sposoby.

Gdyby kolejność osób wybieranych do delagacji miała znaczenie, skorzystalibyśmy z wariacji bez powtórzeń:

$W_{n}^k = \frac{n!}{(n - k)!}
 
Podstawiamy i otrzymujemy:
 
[tex]W_{20}^5 = \frac{20!}{(20 - 5)!} = \frac{20!}{15!} = \frac{15! * 16 * 17 * 18 * 19 * 20}{15!}
 
Skracamy silnię
 
[tex]W_{20}^5 = 16 * 17 * 18 * 19 * 20 = 1860480
 
W takim wypadku mamy 1 860 480 sposobów
 
Zad. 2
 
Posłużymy się tabelką wyników:
 1 2 3 4 5 6
- 1 |1,1| |1,2| |1,3| |1,4| |1,5| |1,6|
- 2 |2,1| |2,2| |2,3| |2,4| |2,5| |2,6|
- 3 |3,1| |3,2| |3,3| |3,4| |3,5| |3,6|
- 4 |4,1| |4,2| |4,3| |4,4| |4,5| |4,6|
- 5 |5,1| |5,2| |5,3| |5,4| |5,5| |5,6|
- 6 |6,1| |6,2| |6,3| |6,4| |6,5| |6,6|
 
Liczebność zbioru
 
[tex]|\Omega| = 36$