Question

1. Kulke wahadla matematycznego o masie m naelektryzowano ladunkiem q umieszczono w jednorodnym polu elektrostatycznym E. Wyznaczyc stosunek okresu drgan wachadla obliczonych dla przeciwnych zwrotow E. przyspieszenie ziemskie wynosi g.

2. Okres drgan wahadla matematycznego wykonanego z nieprzewodzacej nici i malej kulki o masie m= 25g wynosi T1=1,5s po naladowaniu kulki ladunkiem q=1,5mC okres wahadla jest rowny T2=1,12s oblicz natezenie pola elektrycznego przyjmujac ze jego kierunek pokrywa sie z kierunkiem pola grawitacyjnego.

Prosze o rozwiązanie z wytłumaczeniem. :)

Answer 1

1.

Co prawda w zadaniu nie podano, pod jakim kątem do wektora siły grawitacji działa wektor natężenia pola E, można jednak przyjąć, że kierunki wektorów są zgodne (tak jak w zadaniu 2). Inaczej potrzebna byłaby znajomość kąta pomiędzy wektorami sił G(grawitacyjnej), a K(elektrostatycznej). Gdy oznaczymy go przez α, to składowa siły pola elektrycznego zgodna z wektorem siły ciążenia (czyli pionowa) wynosić będzie:

Fcosα (wystarczy zrobić rysunek). Składowa ta oczywiście będzie największa dla α=0, dla którego cosα=1. W dalszych obliczeniach przyjmijmy α = 0

Siła grawitacji:

G = mg

Siła elektrostatyczna K ma kierunek zgodny z wektorem siły pola elektrycznego i wynosi:

K = Eq

Tak więc na masę wahadła działa siła:

F = G + K lub F = G - K, w zależności od zwrotu wektora E.

Wzór na okres wahadła matematycznego jest następujący:

T = 2π√(l/a), gdzie l=dlugość wahadła, a=wypadkowe przyśpieszenie działające na masę m.

Zgodnie z 2 prawem dynamiki Newtona:

F = ma, więc dla zwrotów zgodnych (siły się dodają):

a = F/m = (G + K)/m = (mg + Eq)/m = g + Eq/m

Stosunek okresów T₁ (dla przeciwnych zwrotów) i T₂ (dla zgodnych) wynosi:

T₁/T₂ = 2π√[l /(g - Eq/m)] /{[2π√[l/(g + Eq/m)]} = √[(g + Eq/m)/(g - Eq/m)]

(Pierwiastek z ilorazu sumy przyspieszeń przez ich różnicę).

Po uwzględnieniu ogólnego przypadku α ≠ 0, stosunek wyniesie:

T₁/T₂ = √[(g + Eqcosα/m)/(g - Eqcosα/m)]

 

2.

m = 2,5 g = 2,5*10⁻³ kg

T₁ = 1,5 s

T₂ = 1,12 s

q = 1,5 mC = 1,5 * 10⁻³ C

g = 9,81 m/s²

 

Przed naładowaniem K = 0, więc wypadkowe przyśpieszenie wynosiło g.

Ponieważ po naładowaniu okres się zmniejszył, to przyśpieszenie będące w mianowniku musiało wzrosnąć (masa stała się cięższa), więc siła elektrostatyczna zsumowała się z siłą grawitacji (patrz poprzednie zadanie).

T₁/T₂ = √[(g + Eq/m)/g]

(T₁/T₂)² = (g + Eq/m)/g

Eq/m =  (T₁/T₂)²*g - g

Eq/m =  [(T₁/T₂)² - 1]g

E = [(T₁/T₂)² - 1]gm/q

E = [(1,5/1,12)² - 1] * 9,81 * 2,5 * 10⁻³ / (1,5 * 10⁻³) ≈ 13 [m/s²*kg/C=N/C]

 

Odp. Natężenie pola elektrostatycznego wynosiło ok. 13 N/C = 13 V/m i było zgodne ze zwrotem wektora siły grawitacji.