Question

1. Istnieje trójkąt o bokach długości:
A) 2 dm; 15 cm; 0,05 m
B) 6 mm; 0,2 dm; 1 cm
C) 32 pod pierwiastkiem ; 50 pod pierwiastkiem ; 18 pod pierwiastkiem
D) 4; 2-pod pierwiastkiem 3 ; 2+pod pierwiastkiem 3

2.Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 pierwiastek z 2 cm i 4 pierwiastek z 2 cm. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość:
A)5 pierwiastek z 2 cm
B)4,8 pierwiastek z 2 cm
C)2,4 cm
D)2,4 pierwiastek z 2 cm

3.Pole kwadratu, którego przekątna jest o 1 cm dłuższa od boku, jest równe:
A) (3+2 pierwiastek z 2) cm2
B) (3-pierwiastek z 2) cm2
C) 3 cm2
D) (pierwiastek z 2-1) cm2


proszę o rozwiązanie najlepiej wraz z obliczeniami ;)

Answer 1

Zad.1

Warunek istnienia trójkata: suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta jest zawsze większa od boku trzeciego (a+b>c, a+c> b, b+c> a).

A)

a= 2 dm

b= 15 cm= 1,5 dm

c= 0,05 m= 0,5 dm

b+c= 1,5 dm+ 0,5 dm= 2 dm i a= 2 dm

nie można zbudować trójkąta, bo suma długości dwóch boków b+c=a

B)

a= 6 mm

b= 0,2 dm= 20 mm

c= 1 cm= 10 mm

a+c = 6 mm+ 10 mm= 16 mm i b= 20 mm

nie można zbudować trójkąta, bo suma długości dwóch boków a+c< b

C)

a= √32= 4√2

b= √50= 5√2

c= √18= 3√2

a+b= 4√2+ 5√2= 9√2 > c= 3√2

a+c= 4√2+ 3√2= 7√2> b= 5√2

b+c= 5√2+ 3√2= 8√2> a= 4√2

z podanych odcinków można zbudować trójkąt
D)

a= 4

b= 2- √3

c= 2+ √3

b+ c= 2- √3+ 2+ √3= 4 i a= 4

nie można zbudować trójkąta, bo suma długości dwóch boków b+c= a

Zad.2

pierwsza przyprostoktna a= 3√2 cm

druga przyprostoktna a= 4√2 cm

obliczamy przeciwprostokątną z tw. Pitagorasa

c²= a²+ b²

c²= (3√2 cm)²+ (4√2 cm)²

c²= 18cm²+ 32cm²

c²= 50 cm²

c= √(50 cm²)

c= 5√2 cm

teraz obliczamy pole trójkąta prostokątnego:

P= ½a*b= ½*3√2cm*4√2cm= 12cm²

oraz

P= ½c*h, gdzie h to wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej

P= ½c*h

½*5√2cm*h= 12cm²/*2

5√2cm*h= 24cm²/:(5√2cm)

h= 24cm²: 5√2cm

h= 24√2/10 cm

h= 2,4√2 cm

Odp. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego

ma długość 2,4√2 cm, czyli poprawna odpowiedź to D)

Zad. 3

bok kwadratu ma długość a

przekątna tego kwadratu ma długość d= a+ 1

korzystamy z wzoru na przekątną kwadratu d= a√2

czyli a+ 1= a√2

wyznaczamy a:

a√2- a= 1

a(√2- 1)= 1

stąd a= 1/(√2- 1)

pole kwadratu

a²= [1/(√2- 1)]²= 1/(2-2√2+1)= 1/(3-2√2)= 1*(3+2√2)/[(3-2√2)*(3+2√2)]=

(3+2√2)/(9-8)= (3+2√2)/1= 3+2√2

pole kwadratu 3+2√2 cm²

Odp. Pole kwadratu jest równe 3+2√2 cm², czyli poprawna odpowiedź to A)