Question

1. Iloczyn kwadratu pewnej liczby i kwadratu liczby o 3 od niej wiekszej jest rowny 324. Wyznacz te liczby.
2. Z prostokatnego kawalka blachy o wymiarach 0.5m x 0.4m nalezy wyciac w rogach jednakowe kwadraty ta k aby po zlozeniu blachy i zlutowaniu odpowiednich krawedzi otrzymac prostopadlosciowy pojemnik. Jakiej wielkosci kwadraty nalezy wyciac aby objetosc pojemnika byla rowna 6 litrow, a odpady byly jak najmniejsze.

Answer 1

1)
Zapisujemy równanie:
x² * (x+3)² = 324
x² * (x² +6x + 9) = 324
x⁴ + 6x³ + 9x² -324 = 0

Z twierdzenie Bézouta znajdujemy, że:

W(3) = 0

i dzielimy (w załączniku)

(x³+ 9x² + 36x +108)(x - 3) = 0

Znowu z tego twierdzenia znajdujemy kolejny pierwiastek wielomianu x = -6

Dzielimy wielomian (w załączniku) i otrzymujemy:

(x - 3)(x + 6)(x² +3x +18) = 0

Δ = 9 - 4 * 1 *18 = -63
Delta z równania kwadratowego jest ujemna więc równanie nie ma więcej pierwiastków.

Więc odpowiedzą są liczby -6 i 3.

2)
V - objętość
V = 6 l

Rysunek pomocniczy w 2gim załączniku

Zamieniamy metry na decymetry:

0,5 m = 5 dm
0,4 m = 4 dm

Układamy równanie na ojętość (V = a*b*c)

V = x*(4 - 2x)*(5 - 2x)
6 = (4x - 2x²)*(5 - 2x)
0 = 4x³ - 18x² + 20x - 6

Z twierdzenie Bézouta znajdujemy, że:

W(1) = 0

Dzielimy wielomian (obliczenia w załączniku)

(x - 1)(4x² - 14x +6) = 0

Δ = 14² - 4*4*6 = 100

x1 = (14-10)/8 = 0,5
x2 = (14 + 10)/8 = 3

Czyli x należy do zbioru {0,5 , 1 , 3}

Ponieważ odpady muszą być jak najmniejsze, wybieramy najmniejszy x czyli 0,5 dm.

A więc wymiary kwadratów będą 0,5 dm x 0,5 dm ( 0,25 dm^2)