1. Ile wynosi iloraz ciągu geometrycznego, w którym ósmy wyraz jest osiem razy większy od wyrazu pią.... Question from @peas

September 2018 1 81 Report

1. Ile wynosi iloraz ciągu geometrycznego, w którym ósmy wyraz jest osiem razy większy od wyrazu piątego?

2. Ile wynosi suma 2-6+18-...-4374?

3. Ile wynosi różnica ciągu arytmetycznego , w którym wyraz czternasty jest o 120 większy od wyrazu drugiego?

4. Oblicz x jeżeli 2+4+6+...+x=90

5. Wyznacz trzy liczby naturalne, które tworzą ciąg geometryczny, jeżeli ich średnia arytmetyczna wynosi 21 oraz pierwsza z nich jest najmniejszą nieparzystą liczbą pierwszą.

6. Napisz równanie symetralnej odcinka AB jeśli A=(1;2) i B=(3;-2)

7. Odcinek AB, gdzie A=(-2;2) i B(0;-2) jest średnicą okręgu. Podaj równanie tego okręgu.

Bardzo proszę o rozwiązania, nie wiem nawet, od czego zacząć w tych zadaniach:(

Karoline88

1. Def. ciagu geometrycznego: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Dla wyrazu 5tego: $a_5 = a_1 q^{4}$

Dla ósmego: $a_8 = a_1 q^{7}$

Wiadomo, że $a_8 = 8 a_5$ czyli $a_1 q^{7} = 8a_1 q^{4}$

czyli q = 2

2. Zauważ ze masz do policzenia sumę ciągu geometrycznego o $a_1 = 2$ oraz $q = -3$ . Ostatni wyraz jest dla n = 8 (bo $a_8 = a_1 q^7 = 2 \cdot (-3)^6 = -4374$

Wzór na sumę ciagu geomtrycznego:

$S_n = a_1 + a_1q + a_1 q^2 + ... + a_1 q^7 = a_1 \frac{1 - q^8}{1-q} = 2 \cdot \frac{1 - (-3)^8}{1- (-3)} = -1640$

3. Ciąg arytmetyczny jest tak zdefiniowany:

$a_n = a_1 + (n-1)r$

Wyraz czternasty: $a_{14} = a_1 + 13r = a_2 + 12r$

Więc $a_{14} - a_2 = 12r$ i z godnie z treścią zadania $= 120$ więc r = 120/12 = 10

4. Tutaj mamy sumę ciągu arytmetycznego o r=2 oraz $a_1 = 2$

Więc $x = a_n = a_1 + (n-1)r = 2 + 2(n-1) = 2n$

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego:

$S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n$ czyli

$90 = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n = \frac{2+2n}{2} \cdot n = (n+1)n$

Rozwiązując równanie kwadratowe otrzymujesz n = 9 czyli $x = a_n = 2n = 18$

5. $a_1 = 3$ (z treści zadania o nieparz. liczbie peirwszej)

poza tym:

$21 = \frac{S_n}{3} = \frac{a_1 + a_1q + a_1 q^2}{3} = 1 + q + q^2$

Rozwiązując równanie kwadratowe dostajesz q = 4, więc liczby te to:

$a_1 = 3$ , $a_2 = a_1 q = 12$ oraz $a_3 = a_1 q^2 = 48$

6. Wyobraź sobie, że przez te dwa punkty prowadzisz prostą, o nazwie 'a'. Symetralna to też prosta, tylko że prostopadła do tej prostej 'a', oraz dodatkowo przechodząca przez punkt w srodku, pomiedzy A oraz B. Więc najpierw wyznacz ten punkt:

$S(p,q)$ -> $p = 0,5*(1+3) = 2$ , $q = 0,5*(2-2) = 0$

Więc środkowy punkt miedzy A i B to S(2;0)

Teraz trzeba wyznaczyć wzór prostej przechodzącej przez A oraz B.

$y_AB = Ax + B$

Tworzysz układ równań, wiedząc że przechodzi ona przez A oraz B:

$2 = A*1 + B$ ,

$3 = -2A + B$

Z tego układu dostajesz, ze A = -1/3 oraz B = 7/3

O.K. wyszło ze A = -1/3 --> jest to tzw. współczynnik prostej AB. Żeby wyznaczyć współczynnik prostej prostopadłej do niej, trzeba skorzystać z zalezności:

$A \cdot G = -1$ czyli G = 3 (gdzie G jest wsp. symetralnej $y = Gx + H$