Question

1. Ile boków ma wielokąt , ktorego suma katow wewnętrznych wynosi 1980 stopni ?
2. Jaki to wielokąt który ma 65 przekątnych?
3. Trójkąt ABC wpisany w okrąg AC to średnica. Z wierzchołka B opuiszczono a AC wysokość która podzieliła AC na dwie części 3 i 12 cm. Oblicz wysokość.
4. Trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 6 cm. Oblicz h i R.
5. Okrąg wpisano w trójkąt prostokątny. Jedna z przyprostokątnych ma 8 cm, a promień 2 cm. Oblicz pozostałe boki.

Answer 1

Zadanie 1

Wzór na sumę kątów wewnętrznych:
S = (n-2)*180
n - ilość boków

Czyli mamy równanie:
(n-2)*180 = 1980 |:180
n-2 = 11
n = 13

Odpowiedź: Taki wielokąt ma 13 boków.


Zadanie 2

Wzór na ilość przekątnych:

n - ilość boków

Czyli mamy równanie:
n(n-3)/2 = 65 |*2
n(n-3) = 130
n²-3n-130 = 0
(n+10)(n-13) = 0
n = -10 v n = 13
Ilość boków jest liczbą naturalną, więc n = 13.

Odpowiedź: Szukanym wielokątem jest trzynastokąt.


Zadanie 3

Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
h - szukana wysokość
a, b - długości przyprostokątnych

Z twierdzenia Pitagorasa:
(1) h²+3² = b²
(2) h²+12² = a²
(3) a²+b² = (3+12)² = 15² = 225

Od (2) odejmujemy (1):
h²+144-h²-9 = a²-b²
0 = a²-b²-135
a²-b² = 135
dodajemy do tego (3):
2a² = 360 |:2
a² = 180

h²+144 = 180
h² = 36
h = 6 cm

Odpowiedź: Wysokość ma długość 6 cm.


Zadanie 4

Mamy trójkąt równoboczny wpisany w okrąg.
R = 6 cm

Wiemy, że: 2/3 *h = R
Czyli:
2/3 *h = 6 ===> h = 9 cm

Obliczamy długość boku, korzystając ze wzoru:
h = a√3 /2
9 = a√3 /2
a√3 = 18
a = 6√3 cm

Odpowiedź: Wysokość tego trójkąta to 9 cm, a długość boku to 6√3 cm.


Zadanie 5

a = 8
r = 2

Korzystamy ze wzoru:
r = (a+b-c)/2
2 = (8+b-c)/2
4 = 8+b-c
c-b = 4
c = b+4

oraz twierdzenia Pitagorasa:
a²+b² = c²
8²+b² = c²
64+b² = c²

Podstawiamy: c = b+4
do: 64+b² = c²

64+b² = (b+4)²
64+b² = b²+8b+16
64 = 8b+16
8b = 48
b = 6 cm

c = 6+4 = 10 cm

Odpowiedź: Pozostałe boki mają długość 6 i 10 cm.

Answer 2

1.
n  - ilość boków wielokąta
(n-2)*180=1980
180n-360=1980
180n=1980+360
n=2340/180
n=13  boków ma wielokąt
2.
n(n-3)/2=65    /*2
n²-3n=130
n²-3n-130=0
Δ=b²-4ac
Δ=9+520=529
√Δ=23
n1=(-b+√Δ)/2a =(3+23)/2=26/2=13  trzynastokąt
n2=(-b-√Δ)/2a <0  nie dotyczy
3. 4  5  w załącznikach