Question

1. Funkcja kwadratowa określona wzorem f(x) ax2+ bx+ c ,a \neq 0 przyjmuje wartości ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy xe (-nieskończoność,-3)u(1,+nieskończoność) a jej wykres przecina oś OY w punkcie A(0,4) . a) wyznacz wartości a,b,c , b) podaj wzór funkcji w postaci kanonicznej , c) wyznacz zbiór argumentów , dla których f(x) \geq 4

\neq - Jest to równa się przekreślone

\geq - Wieksze bądż równe

Answer 1

f(x) = a x^2 + b x + c

oraz

x1 = - 3 , x2 = 1 - miejsca zerowe

oraz  f( 0) = 4

 f(x) = a*(x - x1)*( x - x2)  - postać iloczynowa

czyli

f(x) = a*( x + 3)*(x - 1)

i   f(0) = 4 , czyli    a*(0 + 3)*( 0 - 1) = 4

-3 a = 4

a = - 4/3

--------------

f( x) = ( -4/3)*( x + 3)*( x - 1)  - postać iloczynowa

===========================

f(x) = ( -4/3) *( x^2 - x + 3 x - 3) = ( -4/3)*( x^2 + 2 x - 3)

f(x) = ( -4/3) x^2 - (8/3) x + 4

=============================

więc

a = - 4/3, b =  - 8/3 ,  c = 4

=========================

b)

f(x) = a *( x- p)^2 + q

-----------------------------

p = - b/(2a) = ( 8/3) : ( -8/3) = - 1

q = f( p) = f(-1) = ( -4/3)*(-1)^2 - (8/3)*(-1) + 4 = - 4/3 + 8/3 + 4 = 5  1/3

Odp.

f(x) = ( - 4/3) ( x + 1)^2 + 5  1/3  - postać kanoniczna

==============================

c)

f(x) > = 4

 ( -4/3) x^2  - (8/3) x + 4  > = 4

( - 4/3) x^2 - ( 8/3) x > = 0

( -4/3) x *( x + 2) > = 0

x1 = - 2 ,  x2 = 0   i  a =  -4/3 < 0

więc

Odp. x należy do < - 2 ; 0 >

================================