Question

1. Dla jakiego wielokąta wypukłego stosunek sumy kątów wewnętrznych do sumy wszystkich kątów zewnętrznych jest równy 4? Ile przekątnych ma ten wielokąt?

2. Okręgi o promieniach 3 cm i 4 cm są styczne zewnętrznie w punkcie A. Oblicz odległość punktu A od prostej, do której nie należy punkt A, a która jest styczna jednocześnie do dwóch okręgów.

3. Stosując działania na wektorach wykaż, że odcinek łączący środki przekątnych dowolnego trapezu jest równoległy do jego podstaw i że długość tego odcinka jest połową różnicy długości jego podstaw.

Answer 1

1.

Suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi .

 

n- ilość boków wielokąta

 

Suma kątów wewnętrznych n-kąta wypukłago wynosi

 

 

p- liczba przekątnych n-kąta wypukłego

 

 

2.

Narysuj okręgi:

- o środku P i promieniu 3cm

- o środku R i promieniu 4cm

styczne zewnętrznie

 

A- punkt styczności tych okręgów

 

Poprowadź:

- prostą przechodzącą przez punkt A i środki obu okręgów

- prostą styczną do obu okręgów nie przechodzącą przez punkt A.

 

Oznacz:

- K- punkt styczności narysowanej stycznej z mniejszym okręgiem

- M- punkt styczności prostej z większym okręgiem

- L- punkt leżący na stycznej taki, że odcinek AL jest prostopadły do stycznej (|AL|  to szukana odległość)

- O- punkt wspólny dwóch narysowanych prostych

 

Trójkąty OPK, OAL, ORM to podobne trójkąty prostokątne

 

 

 

 

3.

Trapez nazwij ABCD (AB to dłuższa podstawa)

K- środek przekątnej AC, L- środek przekątnej BD

 

 

 

 

Wektory AB i DC to wektory równoległe o tym samym zwrocie. Długość różnicy tych wektorów to wektor o długości równej różnicy ich długości.

Wektor KL to więc wektor równoległy do obu tych wektorów. Jego długość jest równa połowie różnicy długości wektorów AB i DC.