Question

1) Dane są trzy koła współśrodkowe. Promień największego z nich wynosi 10. Oblicz promienie pozostałych kół, jeśli wiadomo, że pole każdego z powstałych pierścieni jest dwukrotnie mniejsze od pola najmniejszego koła.

2) Dane są trzy koła współśrodkowe. Promień największego z nich wynosi 12. Oblicz promienie pozostałych kół, jeśli wiadomo, że pole powstałych pierścieni i najmniejszego koła są równe.

Mają być dokładne obliczenia.

Answer 1

P - pole koła o promieniu r
P = πr²

Ad 1.
P₁ - pole największego koła
r₁ - promień największego koła
P₂ - pole średniego koła
r₂ - promień średniego koła
P₃ - pole najmniejszego koła
r₃ - promień najmniejszego koła
Pp₁ - pole pierwszego pierścienia
Pp₂ - pole drugiego pierścienia
Z treści zadania i z faktu, że koła są współśrodkowe:
r₁ = 10
P₁ = π * 10² = 100π
Pp₁ = Pp₂ = ½P₃

Zapis 1R:
2R: oznacza układ równań

1R: P₁ = P₂ + Pp₁
2R: P₂ = P₃ + Pp₂

1R: P₁ = P₂ + ½P₃
2R: P₂ = P₃ + ½P₃

1R: P₁ = P₂ + ½P₃
2R: P₂ = 1½P₃

1R: P₁ = 1½P₃ + ½P₃
2R: P₂ = 1½P₃

1R: P₁ = 2P₃
2R: P₂ = 1½P₃

1R: 100π = 2P₃ /:2
2R: P₂ = 1½P₃

1R: 50π = P₃
2R: P₂ = 1½ * 50π

1R: P₃ = 50π
2R: P₂ = 75π

P₂ = πr₂²
P₂ = 75π
πr₂² = 75π /: π
r₂² = 75
r₂ = √75
r₂ = √3 * 25
r₂ = 5√3

P₃ = πr₃²
P₃ = 50π
πr₃² = 50π /: π
r₃² = 50
r₃ = √50
r₃ = √2 * 25
r₃ = 5√2

Odp. Promień średniego koła wynosi 5√3, a najmniejszego 5√2.

Ad 2.
P₁ - pole największego koła
r₁ - promień największego koła
P₂ - pole średniego koła
r₂ - promień średniego koła
P₃ - pole najmniejszego koła
r₃ - promień najmniejszego koła
Pp₁ - pole pierwszego pierścienia
Pp₂ - pole drugiego pierścienia
Z treści zadania i z faktu, że koła są współśrodkowe:
r₁ = 12
P₁ = π * 12² = 144π
Pp₁ = Pp₂ = P₃

Zapis 1R:
2R: oznacza układ równań

1R: P₁ = P₂ + Pp₁
2R: P₂ = P₃ + Pp₂

1R: P₁ =P₂ + P₃
2R: P₂ = P₃ + P₃

1R: P₁ =P₂ + P₃
2R: P₂ = 2P₃

1R: P₁ = 2P₃ + P₃
2R: P₂ = 2P₃

1R: P₁ = 3P₃
2R: P₂ = 2P₃

1R: 144π = 3P₃ /:3
2R: P₂ = 2P₃

1R: 48π = P₃
2R: P₂ = 2 * 48π

1R: P₃ = 48π
2R: P₂ = 96π

P₂ = πr₂²
P₂ = 96π
πr₂² = 96π /: π
r₂² = 96
r₂ = √96
r₂ = √6 * 16
r₂ = 4√6

P₃ = πr₃²
P₃ = 48π
πr₃² = 48π /: π
r₃² = 48
r₃ = √48
r₃ = √3 * 16
r₃ = 4√3

Odp. Promień średniego koła wynosi 4√6, a najmniejszego 4√3.