Question

1. Dane są punkty . Na paraboli znajdź taki punkt , aby pole trójkąta

a) było równe

B) było najmniejsze

2. Dane są punkty gdzie należy do przedziału .

a) Dla narysuj czworokąt

b) Znajdź wzór funkcji przyporządkowującej liczbie należącej do przedziału pole czworokąta

c) Wśród czworokątów znajdź czworokąt o najmniejzym oraz czworokąt o największym polu. Podaj pola oraz współrzędne wierzchołków znalezionych czworokątów

Answer 1

1 a i 1 b w załaczniku

nad 2 muszę trochę pomyśleć

Answer 2

z.1

a)

A = ( - 2; 0),   B = ( 0; - 4)

y = x^2 + 1

P = 20

---------------------

C = ?

 

Niech  C = ( x; y) = ( x; x^2 + 1)

 

-->

BA = [ - 2 - 0 ; 0 - (-4) ] = [ - 2; 4 ]

-->

BC = [  x - 0 ;  x^2 + 1 - ( -4) ] = [ x ;  x^2 + 5 ]

Pole trójkąta ABC :

                            -->   -->

P = 0,5 * I  det ( BA , BC ) I =  0,5 * I - 2*( x^2 + 5) -  4 *x ] = I - x^2 - 5 - 2 x I = I - x^2 - 2 x - 5 I = 20

- x^2 - 2 x - 5 = - 20   lub  - x^2 - 2 x - 5 = 20

1)

- x^2 - 2 x  + 15 = 0

delta = 4 - 4*(-1)*15 = 4 + 60 = 64

x = ( 2 - 8) /  ( -2) = - 6 / ( - 2) = 3   lub   x = ( 2 + 8) / ( - 2) = - 5

wtedy

y = 10      lub    y = 26

C = ( 3; 10)    lub   C = ( - 5;  26 )

------------------------------------------------

2)  - x^2 - 2 x - 5 = 20

- x^2 - 2 x - 25 = 0

delta = 4 - 4*(-1)*( - 25) = 4 - 100 < 0  - brak rozwiązań.

Odp.  C = ( 3; 10)   lub   C = ( - 5; 26 )

===============================

b)

 

Wzór na pole trójkąta ABC :

 

P = I - x^2 - 2 x - 5 I   =  x^2 + 2 x + 5

a = 1 > 0  , więc funkcja P przyjmuje najmniejszą wartośc dla x = p = - 2/ ( 2) = - 1

Wtedy

y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2

czyli

C = ( - 1; 2)

Pole ( najmniejsze ) jest równe :

P = ( -1)^2 + 2*(-1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4

=============================

z.2

 

A = ( 4; 1),  B = ( 1; 5)  , C = ( 0; t + 1) ,  D = ( t ; 0)

t  należy do  < 0; 4 >

 

a)  Dla  t = 1  mamy

C = ( 0, 2)  ,  D = ( 1 ; 0)

Rysujemy czworokąt ABCD  dla  A = ( 4; 1),  B = ( 1; 5),  C = ( 0; 2),  D = ( 1; 0)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b)

-->
DA = [ 4 - t;  1 ]

-->
DB = [ 1 - t ;  5 ]

-->

DC = [ - t ; t + 1 ]

Pole czworokąta ABCD  jest równe sumie pól trójkątów : DAB i  DBC

zatem

                               -->   -->                            -->     -->

P( t) = 0,5 * I det ( DA,DB ) I + 0,5 * I det ( DB , DC ) I =

=  0,5 * I 5*( 4 - t ) -  1*( 1 - t ) I + 0,5 *I ( 1 - t)*( 1 + t) - 5*( - t ) I =

= 0,5 * I 20 - 5 t  - 1 + t  I  + 0,5 * I 1 - t^2 + 5 I =

= I 9,5 - 4 t  I + I 3 - 0,5 t^2  I

=========================

 

cdn.  za chwilę