Question

1.
Dane jest równanie z niewiadomą x: |x-2| = 8-5a
a)Oblicz wartość a, wiedząc, że jednym z rozwiązań równania jest liczba 14. Dla znalezionej wartości a wyznacz drugie rozwiązanie równania.
b)Określ liczbę rozwiązań danego równania ze względu na wartość parametru a.

2.
Wykaż, że liczba: 5(do potęgi 12) - 1 jest podzielna przez 31

Answer 1

1.
|x-2| = 8-5a
a)
Dla x=14:
|14-2|=8-5a
12=8-5a
a=-4/5
Lewa strona równa się 12 także dla x=-10, bo
|-10-2|=|-12|=12, więc dla x=-10, a=-4/5

b)
|x-2| z definicji może mieć wartość nieujemną czyli zawsze:
|x-2| ≥ 0
więc także
8-5a ≥ 0
Dla 8-5a=0, czyli a=8/5, lewa strona jest zerem, czyli równanie ma jedno rozwiązanie x=2
Dla 8-5a > 0, czyli a<8/5, lewa strona jest dodatnia, czyli będą 2 rozwiazania:
x=2+8-5a=10-5a lub -x+2=8-5a, czyli x=-6+5a
Dla 8-5a < 0, czyli a>8/5 nie ma rozwiązań.

2.
Nie przychodzi mi żaden sprytny sposób rozwiązania, więc rozwiązuję trywialnie:
5¹²-1=25⁶-1=625³-1=244140625-1=244140624=31*7875504, czyli jest podzielne przez 31.