Question

1) Ciało spada swobodnie. W jakim czasie pokona ostatni metr swojej drogi?

2) Ciało spadające swobodnie przebyło w ostatniej sekundzie połowę drogi. Z jakiej wysokości spadło ciało? jak długo spadało w pierwszej połowie drogi?

3) Ciało swobodnie spadające w ostatniej sekundzie przebyło jedną trzecią całej drogi. Oblicz wysokość i czas przebywania pierwszej części drogi.

Answer 1

Mamy s=v₀t+½at² = ½(v₀+v₁)t, gdzie v₀ to prędkość początkowa, v₁ to prędkość końcowa, t to czas spadania, zaś a to przyspieszenie (u nas równe przyspieszeniu ziemskiemu g czyli ok. 10m/s²).

1) Mamy 1m = ½(v₀+v₁)t oraz v₁=v₀+gt. Widać stąd, że czas przelatywania ostatniego metra zależy od prędkości, którą ciało miało przed tym ostatnim metrem (możnaby to wyliczyć np. wówczas gdybyśmy znali wysokość z której spada ciało lub wcześniejszy czas spadania).

2) Niech s - połowa drogi którą ciało przebyło w sumie
t - czas spadania (przed ostatnia sekundą)
Mamy s=½at² (bo ciało w czasie t zaczynając z zerową prędkością przebyło drogę s) oraz 2s=½a(t+1)²
Po pomnożeniu pierwszego równania stronami i przyrównaniu mamy
at²=2s=½a(t+1)²,
a stąd 2t²=(t+1)² czyli 2t²=t²+2t+1, czyli t²-2t+1=2, a stąd (t-1)²=2, co daje t=√2 + 1.
Wysokość, czyli 2s wynosi: 2s=at² = 10(√2 + 1)

3) Możemy rozwiązać to zadanie analogicznie jak poprzednie. Mamy tym razem równania (s - jedna trzecia całej drogi)
Z równań 2s=½at² oraz 3s=½a(t+1)²
Skąd mamy 3at²=6s=2a(t+1)²
a stąd 3t²=2(t+1)² czyli (t-2)²=2, czyli t=√2 + 2
Wysokość, czyli 3s wynosi ½a(t+1)² = 5(√2 + 3)