Question

1. 2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0

2.Znajdź wartości m dla których suma różnych rozwiązań jest równa sumie ich kwadratów: x^2-2m(x-1)-1=0

Potrzebuję działań. NA TERAZ

Answer 1

Zad. 1.

W(x)=2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=0

W(1)=2-9+14-9+2=0

W(x)=(x-1)*(2x^3-7x^2+7x-2)=0

W(2)=1*(16-28+14-2)=0

W(x)=(x-1)*(x-2)*(2x^2-3x+1)=0

delta=9-8=1

x1=(3-1)/4=1/2

x2=(3+1)/4=1

 

W(x)=(x-1)*(x-2)*2*(x-1/2)*(x-1)=2*(x-1)^2*(x-2)*(x-1/2)

 

Rozwiązanie: x ∈ (1/2,1,2}

 

Zad. 2.

 

x^2-2mx+(2m-1)=0

a=1, b=-2m, c=2m-1

 

Istnieją 2 różne rozwiązania, czyli delta>0:

 

delta=b^2-4*ac=4m^2-4*1*(2m-1)=4m^2-8m+4>0 . Dzielę obie strony nierówności przez 4:

m^2-2m+1>0

(m-1)^2>0

|m-1|>0

m-1≠0

m≠1

 

Rozwiązania: x1,x2

x1=(-b-sqrt(delta))/2a

x2=(-b+sqrt(delta))/2a

 

Suma rozwiązań (otrzymujemy jeden z wzorów Viete'a): x1+x2=(-b-sqrt(delta)-b+sqrt(delta))/2a=(-2b)/2a=-b/a

 

Suma kwadratów rozwiązań: x1^2+x2^2=((-b-sqrt(delta))/2a)^2+((-b+sqrt(delta))/2a)^2=(b^2+2b*sqrt(delta)+delta + delta-2b*sqrt(delta)+b^2)/4a^2=(2b^2+2delta)/4a^2=(b^2+delta)/2a^2=(b^2+b^2-4ac)/2a^2=(2b^2-4ac)/2a^2=(b^2-2ac)/a^2=(b/a)^2-2c/a

 

-b/a=(b/a)^2-2c/a // *a (a=1≠0)

-b=b/a-2c // *a

-ab=b-2ac

a=1, więc mamy:

-b=b-2c

2b=2c

b=c

 

-2m=2m-1

4m=1

m=1/4 (należy do dziedziny).

 

Odpowiedź: m=1/4