Dwa wierzchołki trójkąta równoramiennego ABC znajdują się na paraboli o równaniu y = , zaś trzecim w.... Question from @Raven11

January 2019 1 441 Report

Dwa wierzchołki trójkąta równoramiennego ABC znajdują się na paraboli o równaniu y = $\frac{1}{4 } (x-4)^{2}$ , zaś trzecim wierzchołkiem trójkąta jest wierzchołek paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta, jeśli wiadomo, że kąt rozwarty tego trójkąta ma miarę 120 stopni.

Policzyłam, że wierzchołek paraboli ma współrzędne (0,4) ale nie wiem jak policzyć pozostałe wierzchołki :/

ghe $y = \frac{1}{4 } (x-4)^2$

Z postaci kanonicznej mamy:
$p=4$

$q=0$

$C=W=(4,0)$

Prosta $x=p=4$ jest osią symetrii paraboli i jednocześnie osią symetrii trójkąta.

Ponieważ kąt rozwarty trójkąta ma miarę $120^o$ , a trójkąt jest równoramienny, więc kąt między osią symetrii, a prostą zawierającą jeden z boków trójkąta ma $60^o$ .
Kąt nachylenia prostej zawierającej ten bok trójkąta do osi OX ma więc
$90^o-60^o=30^o$ , zatem
$a=tg30^o= \frac{\sqrt{3}}{3}$
Prosta musi beż przechodzić przez wierzchołek paraboli, więc jego współrzędne muszą to równanie spełniać.
$y= \frac{\sqrt{3}}{3}x+b$

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 4+b=0$

$b=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Równanie prostej zawierającej jeden z boków trójkąta:
$y= \frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Obliczam współrzędne wierzchołka $A$ trójkąta.
$y = \frac{1}{4 } (x-4)^2\end{cases}$

$y= \frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}$

$\frac{1}{4 } (x-4)^2= \frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{4\sqrt{3}}{3}\ / \cdot 12$

$3(x-4)^2=4\sqrt{3}x-16\sqrt{3}$

$3(x^2-8x+16)-4\sqrt{3}x+16\sqrt{3}=0$

$3x^2-24x+48-4\sqrt{3}x+16\sqrt{3}=0$

$3x^2-(24+4\sqrt{3})x+16\sqrt{3}+48=0$

$\Delta=[-(24+4\sqrt{3})]^2-4 \cdot 3 \cdot (16\sqrt{3}+48)=$

$576+192 \sqrt{3}+48-192\sqrt{3}- 576=48$

$\sqrt{\Delta}= \sqrt{48}=4 \sqrt{3}$

$x_1= \frac{24+4\sqrt{3}-4 \sqrt{3} }{6}=\frac{24}{6}=4$ - odrzucamy, to odcięta wierzchołka paraboli

$x_2= \frac{24+4\sqrt{3}+4 \sqrt{3} }{6}=\frac{24+8 \sqrt{3}}{6}=\frac{2(12+4\sqrt{3})}{6}=\frac{12+4\sqrt{3}}{3}$

$y_2= \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot\frac{12+4\sqrt{3}}{3} -\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{12 \sqrt{3} +12}{9} -\frac{12\sqrt{3}}{9}= \frac{12}{9}= \frac{4}{3}$

$A=\left(\frac{12+4\sqrt{3}}{3};\frac{4}{3}\right)$

Obliczam współrzędne wierzchołka $B$ trójkąta.
Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi symetrii paraboli.
$B=\left(8-\frac{12+4\sqrt{3}}{3};\frac{4}{3}\right)$

$B=\left(\frac{24-12-4\sqrt{3}}{3};\frac{4}{3}\right)$

$B=\left(\frac{12-4\sqrt{3}}{3};\frac{4}{3}\right)$