Question

Pilne na dzisiaj albo jutro rano.

1
czy liczba 666...666 w której cyfra 6 powtarza się 2008 razy jest kwadratem liczbu naturalnej?
2.
Czy istnieją 2 kolejne liczby naturalne których sumy cyfr jest podzielna przez 11?
3.Wyznacz liczbę dzielników liczby

2 do potęgi5 +2do potęgi4 * 3 do potęgi 3 + 2do potęgi 2 * 3 do potęgi 2

4.Oblicz
(1=2/3)*(1+2/5)*...*(1+2/2005)

5.
Każdy ułamek przedstaw w postaci ułamka zwykłęgo
a/
0,(134
b/
0,22(13)
c/
0,(2002)
d/
0,123(114)
6.czy liczba 999...9 w której 9 powtarza się 2009razy jest kradratem liczbu naturalnej ?


Najważniejsze odpowiedzi ale obliczenia też się przydadzą

plis rozwiąrzcie pilne!!!!!

Answer 1

Zad. 1.
Suma cyfr tej liczby wynosi:
6 * 2008 = 12 048
Liczb ta jest podzielna przez 3. Gdyby była kwadratem, byłaby też podzielna przez 9 (a nie jest). Zatem ta liczba nie jest kwadratem liczby naturalnej.

Zad. 3.
2⁵ +2⁴ * 3³ + 2² * 3² = 2² * (2³ + 2² * 3³ + 3²) =
2² * (8 + 108 + 9) = 2² * 125 = 2² * 5³

Zatem ta liczba ma:
(2 + 1) * (3 + 1) = 3 * 4 = 12 dzielników

Zad. 4.
(1+2/3)*(1+2/5)*...*(1+2/2005) =
5/3 * 7/5 * 9/7 * 11/9 * ... * 2005/2003 * 2007/2005

Skracamy kolejne liczniki z mianownikami i otrzymujemy, że podany iloczyn wynosi:
1/3 * 2007/1 = 2007 / 3 = 669

Zad. 5.
a) 0,(134)
x = 0,(134)
1000 * x = 134,(134)
1000 * x - x = 134
999 * x = 134
x = 134 / 999

b) 0,22(13)
100 * x = 22,(13)
10000 * x = 2213,(13)
10 000 x - 100 x = 2 191
9900 x = 2 191
x = 2 191 / 9900

c) 0,(2002)
x = 0,(2002)
10000 x = 2002,(2002)
9999 x = 2002
x = 2002 / 9999

d) 0,123(114)
1000 x = 123,(114)
1 000 000 x = 123114,(114)
999 000 x = 122 991
x = 122 991 / 999000

Zad. 6.
Gdyby liczba 99...9 była kwadratem liczby naturalnej, wtedy również liczba 11...1 byłaby kwadratem liczby naturalnej.
Ale suma cyfr liczby 11...1 wynosi 2009, czyli przy dzieleniu przez 3 liczba ta daje resztę 2. Zatem liczba ta nie może być kwadratem liczby naturalnej => kwadraty dają resztę 0 lub 1.

Answer 2

1)
Suma cyfr tej liczby wynosi:
6 * 2008 = 12 048
nie jest kwadratem liczby naturalnej.

3)
2⁵ +2⁴ * 3³ + 2² * 3² = 2² * (2³ + 2² * 3³ + 3²) =
2² * (8 + 108 + 9) = 2² * 125 = 2² * 5³
ma 12 dzielników

5)
a) 0,(134)
x = 0,(134)
1000 * x = 134,(134)
1000 * x - x = 134
999 * x = 134
x = 134 / 999

b) 0,22(13)
100 * x = 22,(13)
10000 * x = 2213,(13)
10 000 x - 100 x = 2 191
9900 x = 2 191
x = 2 191 / 9900

c) 0,(2002)
x = 0,(2002)
10000 x = 2002,(2002)
9999 x = 2002
x = 2002 / 9999

d) 0,123(114)
1000 x = 123,(114)
1 000 000 x = 123114,(114)
999 000 x = 122 991
x = 122 991 / 999000