Question

Zbadaj monotonicznosc ciagu

an = n/n-2
jak tworze an+1 i potem licze an+1 - an to wychodzi mi -2/0 czyli 0

co wtedy to znaczy? że jest staly ?

Answer 1

Rozwiazanie w załączniku Aby zbadać monotoniczność ciągu o danym wyrazie ogólnym, należy zbadać znak różnicy an+1 - an. Jeśli jest ona dodatnia wtedy ciąg jest rosnący, jeśli ujemna ciąg jest malejścy, a jeśli równa 0, to ciąg jest stały.

Answer 2

An=n/(n-2)    oraz n jest różne od 2 (dziedzina tego wyrażenia)
a(n+1)=(n+1)/(n-1)    oraz n jest różne od 1 (dziedzina tego wyrażenia)
badamy znak różnicy a(n+1) -a(n)=(n+1)/(n-1)-n/(n-2)
Sprowadzamy do wspólnego mianownika, którym będzie (n-1)(n-2)
(n+1)/(n-1)*(n-2)/(n-2)-n/(n-2)*(n-1)/(n-1)=(n^2-n-2)/(n-1)/(n-2)-(n^2-n)/(n-1)/(n-2)=liczniki odejmujemy od siebie=(-2)/(n-1)/(n-2)
Teraz rozpoczynamy analizę danego wyrażenia.
w liczniku jest liczba ujemna -2
w mianowniku mamy (n-1)(n-2), ale w ciągach operujemy na liczbach naturalnych dodatnich, co więcej n>2 (ustaliliśmy na początku dziedzinę)
Stąd n-1 jest dodatnie oraz n-2 jest dodatnie. Czyli mianownik jest dodatni.
Jeżeli dzielimy liczbę ujemną przez dodatnią to otrzymujemy liczbę ujemną.
Zatem a(n+1)-a(n)<0  Czyli ciąg jest malejący (bo a(n+1)<a(n))