Question

znaleźć zbiór wszystkich liczb całkowitych dla których jednocześnie zachodzą równości; √(x2−6x+9)=x−3 i √(x2−10x+25)=5−x

Answer 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Mamy znaleźć zbiór wszystkich liczb całkowitych, dla których jednocześnie zachodzą równości: , czyli rozwiązaniem będzie iloczyn (część wspólna) zbiorów rozwiązań pierwszego i drugiego równania.

 

Rozwiążemy pierwsze równanie:

 

Zaczynamy od dziedziny D tego równania - wyrażenie pod pierwiastkiem musi być większe lub równe zero (bo nie możemy policzyć pierwiastka stopnia parzystego z liczby ujemnej, ponieważ podnosząć liczbę ujemną do potęgi o wykładniku parzystym otrzymamy liczbę dodatnią)

Zatem:

Obliczamy miejsca zerowe

czyli funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe:

Zaznaczamy to miejsce na osi i rysujemy przybliżony wykres paraboli, której ramiona są skierowane w górę, bo a  = 1 > 0 i z wykresu odczytujemy, że nierówność x²-6x+9 ≥ 0 jest spełniona dla każdego x, czyli x ∈ R

Stąd ustalamy, że dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

Wracamy do równania:

Chcemy podnieść obie strony do kwadratu.

Jednak wiemy, że lewa strona jest nieujemna, bo po lewej stronie jest pierwiastek kwadratowy. Dlatego i prawa również musi być nieujemna, bo gdyby była ujemna to równanie byłoby sprzeczne. Należy więc założyć, że:

i przy tym założeniu możemy śmiało podnieść równanie stronami do kwadratu.

Równanie jest tożsamościowe, czyli spełnione jest przez każdą liczbę x, ale mieliśmy założenie, że x ≥ 3, zatem rozwiązaniem rówania wyjściowego:

jest , czyli

 

Rozwiążemy drugie równanie (bez szczegółowego tłumaczenia, bo rozwiązujemy podobnie jak pierwsze):

Ustalmy dziedzinę D równania:

Rysujemy wykres i odczytujemy rozwiązanie: x ∈ R, zatem

 

Założenie:

Podnosimy obie strony do kwadratu i otrzymujemy:

x ∈ R, ale uwzględniając założenie rozwiązaniem równania jest:

, czyli

 

Zbiorem rozwiązań obu równań jest zbiór:

, czyli

 

Zatem zbiorem liczb całkowitych, dla których jednocześnie zachodzą równości: jest zbiór: