Question

Znaleźć rzut prostej l:x+1=2y+2=z na płaszczyznę x+2y-z=0

Answer 1

Na początek znajdziemy punkt przecięcia prostej  z naszą płaszczyzną (oznaczmy ją ). Współrzędne tego punktu spełniają zarówno równanie prostej, jak i płaszczyzny. Skoro , to możemy to zapisać jako
, więc:





Wobec tego punktem przecięcia płaszczyzny  z prostą  jest punkt . Teraz weźmy na prostej l dowolny inny punkt. Np. wstawiając do równania prostej z=0, dostaniemy x=-1 oraz y=-1. Zatem na prostej l leży punkt . Znajdziemy rzut punktu P na płaszczyznę  (oznaczymy go B).

Mamy , zaś wektor  ma być równoległy do wektora normalnego  płaszczyzny . Współrzędne wektora  odczytujemy z równania płaszczyzny :


Zatem (z warunku równoległości):


A skoro punkt B leży na płaszczyźnie , to ogółem jego współrzędne spełniają układ równań:



Po rozwiązaniu dostajemy:


Wobec tego B ma współrzędne . Rzut prostej l przechodzi przez punkty A i B. Wobec tego wektorem kierunkowym rzutu jest np. wektor:



Zatem poszukiwane równanie rzutu, to: